Derivadas de funciones exponenciales

01 · La variable cambia de lugar

Potencia y exponencial no son la misma familia

En una potencia como x⁵, la variable está en la base y el exponente es fijo. En una exponencial como 5ˣ, la base es fija y la variable ocupa el exponente.

Las exponenciales modelan procesos cuyo cambio instantáneo es proporcional al tamaño actual: crecimiento poblacional, interés continuo, decaimiento de sustancias o carga y descarga idealizadas.

02 · Una base especial

El número e normaliza el crecimiento instantáneo

Existe una única base positiva e ≈ 2,718281828… para la cual la pendiente de eˣ en cero vale exactamente 1:

Esta propiedad puede usarse como caracterización de e. También se relaciona con el límite:

La elección de esta base elimina cualquier factor adicional al derivar. Por eso aparece de manera natural en modelos continuos y simplifica muchas fórmulas del cálculo.

03 · Resultado fundamental

La derivada de eˣ es eˣ

Partimos del cociente incremental:

Usamos eˣ⁺ʰ=eˣeʰ y factorizamos el término independiente de h:

Por la propiedad característica de e, el límite vale 1. Por lo tanto:

La función conserva su forma al derivarse. En x=0, valor y pendiente son 1; en x=2, ambos valen e².

04 · Cualquier base positiva

La base aporta el factor ln(a)

Para una base constante a>0, podemos escribir:

Aplicamos la regla de la cadena. La función interior es x ln(a), cuya derivada es la constante ln(a):

Así obtenemos la regla general:

05 · Dominio de la base

Por qué exigimos a > 0

Para que aˣ sea una función real definida para todo número real x, la base debe ser positiva.

a > 1

Exponencial creciente; ln(a)>0.

0 < a < 1

Exponencial decreciente; ln(a)<0.

a = 1

Función constante 1; su derivada es cero.

a ≤ 0

No define una exponencial real para todo x∈ℝ.

Una base negativa puede producir valores reales para ciertos exponentes enteros o racionales, pero no una función real continua y derivable sobre todos los reales. La base cero también falla para exponentes negativos y presenta problemas en cero.

06 · Cadena exponencial

Derivar e elevado a una función

Si F(x)=eᵍ⁽ˣ⁾, la exterior es eᵘ y su derivada sigue siendo eᵘ. La cadena agrega g′(x):

Ejemplo:

La exponencial original permanece intacta y se multiplica por la derivada completa de su exponente.

Otro ejemplo con signo:

El signo negativo proviene de derivar −x², no de la función exponencial.

07 · Base a y exponente variable

La cadena conserva también ln(a)

Para una base positiva constante y una función g:

Ejemplo:

Los tres factores tienen orígenes diferentes:

1. 1
   La exponencial original.

   3ˣ²⁻¹ permanece.

2. 2
   La base.

   ln(3) aparece por ser una base distinta de e.

3. 3
   La función interior.

   2x proviene de derivar x²−1.

08 · Interpretar el signo

Crecimiento y decaimiento exponencial

Como aˣ>0, el signo de la derivada de aˣ depende únicamente de ln(a):

Para el modelo P(t)=P₀eᵏᵗ:

La tasa instantánea es proporcional al estado actual. Si k>0, hay crecimiento; si k<0, decaimiento; si k=0, el estado permanece constante.

Al dividir por el valor positivo P(t), obtenemos la tasa relativa:

Mientras la tasa absoluta P′(t) cambia con el tamaño del sistema, la tasa relativa permanece constante. Si t se mide en horas, k tiene unidades de «por hora».

Cuando k>0, el tiempo de duplicación satisface eᵏᵀ=2, de donde T=ln(2)/k. Si k<0, el tiempo para reducirse a la mitad es ln(2)/|k|. Estas cantidades no dependen del valor inicial P₀.

09 · Combinar reglas

Productos y cocientes con exponenciales

Las exponenciales pueden formar parte de expresiones mayores. En F(x)=x²eˣ usamos la regla del producto:

Para G(x)=eˣ/(x+1), con x≠−1, usamos cociente:

Reconocer la operación principal sigue siendo el primer paso. La regla exponencial deriva las piezas; producto, cociente o cadena indican cómo combinarlas.

10 · Estrategia de cálculo

Base, exponente y capas

1. Verificá que la variable esté en el exponente.
2. Si la base es e, no agregues ningún factor logarítmico.
3. Si la base es otra constante positiva a, multiplicá por ln(a).
4. Si el exponente es una función, multiplicá por su derivada.
5. Aplicá producto, cociente u otras reglas si la exponencial está dentro de una expresión mayor.
6. Revisá dominio, signos y posibles simplificaciones.

11 · Exploración interactiva

Laboratorio: altura y pendiente exponencial

Elegí una exponencial, mové el punto a y reducí h. Compará el valor de la función, el factor local y la pendiente exacta con una secante.

La curva amarilla representa la exponencial, la recta coral es una secante y la violeta es la tangente calculada mediante la regla correspondiente.

Preguntas para explorar

1. En eˣ, compará el valor y la derivada en varios puntos.
2. Compará 2ˣ y (1/2)ˣ. ¿Cómo cambia el signo de la pendiente?
3. En e²ˣ, ¿qué factor constante relaciona la altura con la pendiente?
4. En e⁻ˣ², probá puntos opuestos. ¿Por qué las pendientes tienen signos contrarios?

12 · Implementación numérica

Construir exponenciales derivables

JavaScript ofrece Math.exp(x) para eˣ y Math.log(a) para ln(a):

function exponencial(base) {
  if (!(base > 0) || !Number.isFinite(base)) {
    throw new RangeError("La base debe ser positiva y finita");
  }

  const factor = Math.log(base);
  return {
    valor: x => base ** x,
    derivada: x => base ** x * factor
  };
}

const potenciaDeDos = exponencial(2);
console.log(potenciaDeDos.valor(3));     // 8
console.log(potenciaDeDos.derivada(3)); // 8 * ln(2)

Exponente compuesto

function exponencialCompuesta(base, g, dg) {
  const simple = exponencial(base);
  return {
    valor: x => simple.valor(g(x)),
    derivada: x => simple.derivada(g(x)) * dg(x)
  };
}

const gaussiana = exponencialCompuesta(
  Math.E,
  x => -(x ** 2),
  x => -2 * x
);

console.log(gaussiana.valor(1));
console.log(gaussiana.derivada(1));

Para entradas grandes, Math.exp puede desbordar a Infinity; para entradas muy negativas puede redondear a cero. Son límites de la representación numérica, no cambios en la definición matemática.

13 · Diferencias pequeñas

Usar expm1 cerca de cero

El cociente (eʰ−1)/h sufre cancelación cuando h es muy pequeño: eʰ se redondea a un número casi indistinguible de 1 y luego se restan cantidades cercanas.

Math.expm1(h) calcula eʰ−1 de forma más estable:

function pendienteEnCero(h) {
  if (h === 0) throw new RangeError("h debe ser distinto de cero");
  return Math.expm1(h) / h;
}

for (const h of [1e-1, 1e-4, 1e-8, 1e-12]) {
  console.log(h, pendienteEnCero(h));
}
// Los valores se aproximan a 1.

La elección de una función numérica especializada no cambia la fórmula; reduce el error de redondeo al implementarla.

Regla simbólica

function derivarExponencial(nodo, derivar) {
  const factorBase = nodo.base === Math.E
    ? { tipo: "constante", valor: 1 }
    : { tipo: "constante", valor: Math.log(nodo.base) };

  return {
    tipo: "producto",
    factores: [nodo, factorBase, derivar(nodo.exponente)]
  };
}

Una etapa posterior puede eliminar el factor 1. Mantener primero la estructura completa ayuda a no olvidar ni ln(a) ni la derivada del exponente.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: base natural

Derivá f(x)=7eˣ.

Ejercicio 2: base general

Calculá la derivada de g(t)=5ᵗ.

Ejercicio 3: exponente compuesto

Derivá h(x)=e³ˣ²⁻²ˣ.

Ejercicio 4: otra base y cadena

Derivá F(x)=2⁽ˣ³⁺¹⁾.

Ejercicio 5: producto

Calculá la derivada de Q(x)=(x+1)e⁻ˣ.

Ejercicio 6: completar una fábrica

Completá la derivada de una exponencial compuesta.

function crearExponencial(base, g, dg) {
  if (!(base > 0)) throw new RangeError("Base inválida");
  return {
    valor: x => base ** g(x),
    derivada: x => null // completar
  };
}

function crearExponencial(base, g, dg) {
  if (!(base > 0)) throw new RangeError("Base inválida");
  return {
    valor: x => base ** g(x),
    derivada: x =>
      base ** g(x) * Math.log(base) * dg(x)
  };
}

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos las funciones logarítmicas, inversas de las exponenciales.