Derivadas de funciones trigonométricas inversas

01 · Deshacer una función trigonométrica

Una inversa devuelve el ángulo

Si y=arcsin(x), entonces sin(y)=x. Si y=arctan(x), entonces tan(y)=x. Las funciones trigonométricas deben restringirse a intervalos donde sean uno a uno antes de invertirlas.

02 · Derivada del arcoseno

Una deducción por derivación implícita

Sea y=arcsin(x). Entonces sin y=x. Derivando ambos lados respecto de x:

Como y∈[−π/2,π/2], cos y≥0. De sin y=x y sin²y+cos²y=1 resulta cos y=√(1−x²):

La función existe en [−1,1], pero su derivada finita solo en el intervalo abierto: en los extremos aparecen tangentes verticales.

03 · Derivada del arcocoseno

La misma raíz con signo negativo

Si y=arccos(x), entonces cos y=x con y∈[0,π]. Derivando:

En ese intervalo sin y≥0, por lo que sin y=√(1−x²):

Además, arccos x=π/2−arcsin x, lo que confirma que sus derivadas son opuestas.

04 · Derivada del arcotangente

Una fórmula válida para todo número real

Sea y=arctan(x), de modo que tan y=x y y∈(−π/2,π/2):

Usando sec²y=1+tan²y=1+x²:

La derivada es positiva y nunca se anula. Se acerca a cero cuando |x| crece, coherente con las asíntotas horizontales y=±π/2.

05 · Las otras tres inversas

Arcocotangente, arcosecante y arcocosecante

Adoptamos arccot x∈(0,π), que produce una función decreciente. Algunos textos usan otra rama y convención; conviene declarar cuál se aplica.

El valor absoluto en arcosecante y arcocosecante es esencial: permite que la fórmula tenga el signo correcto tanto para x>1 como para x<−1.

06 · Argumentos compuestos

La regla interior aparece en el numerador

07 · Función frente a derivada

Los extremos requieren atención

arcsin(g(x)) y arccos(g(x)) existen cuando −1≤g(x)≤1. Para que la fórmula de la derivada sea finita se requiere la desigualdad estricta |g(x)|<1, además de la derivabilidad de g.

Por ejemplo, f(x)=arcsin(x²) está definida para −1≤x≤1, pero:

En cambio, arctan(g(x)) no introduce restricciones adicionales porque 1+g(x)²>0 para todo valor real de g(x).

08 · Simplificaciones útiles

Composiciones entre trigonométricas e inversas

Si θ=arctan x, un triángulo con catetos x y 1 tiene hipotenusa √(1+x²). Así:

También sin(arcsin x)=x para x∈[−1,1]. Pero arcsin(sin x)=x solo cuando x∈[−π/2,π/2]; fuera de la rama principal devuelve otro ángulo con el mismo seno.

09 · Estrategia

Cómo resolver una derivada inversa

1. Identificá la inversa. No la confundas con una potencia negativa o un recíproco.
2. Determiná el argumento. Llamalo g(x) y calculá g′(x).
3. Aplicá la regla exterior. Conservá el argumento completo en el denominador.
4. Multiplicá por g′. Simplificá sin perder raíces, signos ni valores absolutos.
5. Revisá el dominio. Distinguí dónde existe la función y dónde posee derivada finita.

10 · Laboratorio interactivo

Compará la derivada exacta y la numérica

Mové el punto para observar cómo las pendientes de arcoseno y arcocoseno crecen cerca de ±1, mientras la de arcotangente se aplana.

11 · Implementación

Funciones inversas en JavaScript

const inverseTrig = {
  asin: {
    value: x => Math.abs(x) <= 1 ? Math.asin(x) : NaN,
    derivative: x => Math.abs(x) < 1 ? 1 / Math.sqrt(1 - x * x) : NaN
  },
  acos: {
    value: x => Math.abs(x) <= 1 ? Math.acos(x) : NaN,
    derivative: x => Math.abs(x) < 1 ? -1 / Math.sqrt(1 - x * x) : NaN
  },
  atan: {
    value: x => Math.atan(x),
    derivative: x => 1 / (1 + x * x)
  }
};

Math.asin, Math.acos y Math.atan devuelven radianes. JavaScript no incluye directamente arcsec; en su dominio real puede implementarse como Math.acos(1/x).

function asinComposite(g, dg) {
  return {
    value: x => Math.asin(g(x)),
    derivative: x => {
      const u = g(x);
      return Math.abs(u) < 1 ? dg(x) / Math.sqrt(1 - u * u) : NaN;
    }
  };
}

12 · Aplicaciones

Recuperar ángulos desde datos geométricos

Si una recta tiene pendiente m(x), su ángulo de inclinación es θ(x)=arctan(m(x)) y:

En navegación y gráficos se usa atan2(y,x) para recuperar el ángulo correcto según el cuadrante. Su diferencial, lejos del origen, es:

Esta relación aparece al calcular orientación, rotación de cámaras, fase de señales y coordenadas polares.

13 · Comprensión

Confusiones frecuentes

14 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: arcoseno compuesto

Derivá arcsin(3x) e indicá dónde existe la derivada.

Ejercicio 2: arcocoseno compuesto

Derivá arccos(x²).

Ejercicio 3: arcotangente y raíz

Derivá arctan(√x).

Ejercicio 4: producto con arcotangente

Derivá x·arctan(x).

Ejercicio 5: arcosecante

Derivá arcsec(2x).

Ejercicio 6: composición trigonométrica

Simplificá y derivá sin(arctan x).

Ejercicio 7: recta tangente

Hallá la tangente a y=arcsin x en x=1/2.

Ejercicio 8: análisis del dominio

¿Por qué arctan no introduce restricciones reales?

15 · Síntesis

Ideas para recordar

El próximo tema formaliza la derivación implícita, el método que ya usamos para deducir estas reglas.