01 · Cambiar la forma del problema
El logaritmo simplifica estructuras multiplicativas
Derivar directamente un producto con muchos factores o una potencia como xˣ puede ser incómodo. El logaritmo natural convierte esas operaciones:
Productos
La derivada logarítmica se vuelve una suma.
Cocientes
Los factores del denominador se restan.
Exponentes
El exponente baja y deja de ocultar la variable.
02 · Procedimiento básico
Tomar logaritmos y derivar implícitamente
- Definí y. Escribí
y=f(x). - Aplicá ln. Tomá logaritmo en ambos miembros.
- Expandí. Usá las propiedades logarítmicas.
- Derivá. El lado izquierdo se convierte en
y′/y. - Despejá y′. Multiplicá por
y. - Reemplazá y. Volvé a la expresión original.
03 · Muchos factores
La derivada relativa de un producto es una suma
Si y=u(x)v(x)w(x) y los factores no se anulan:
Esta expresión es equivalente a la regla del producto repetida, pero crece linealmente con la cantidad de factores y reduce errores de organización.
04 · Numeradores y denominadores
Una fórmula compacta para productos y cocientes
Para y=uᵅvᵝ/wᵞ, con exponentes constantes:
Ejemplo: si y=(x²+1)³√(x−2)/eˣ, entonces:
El dominio real original exige x>2.
05 · Exponente variable
La derivada de xˣ
Sea y=xˣ para x>0. No sirve la regla de potencia ni la exponencial por separado:
La derivada se anula en x=e⁻¹; allí xˣ alcanza su mínimo dentro del dominio positivo.
06 · Base y exponente variables
La regla para g(x)h(x)
Si g(x)>0 y y=g(x)h(x):
La fórmula contiene dos contribuciones: una por el cambio del exponente y otra por el cambio de la base.
07 · Aplicaciones
Potencias compuestas
| Función | Derivada logarítmica y′/y | Derivada |
|---|---|---|
xsin x | cos x ln x+sin x/x | xsin x(cos x ln x+sin x/x) |
(x²+1)ˣ | ln(x²+1)+2x²/(x²+1) | (x²+1)ˣ[... ] |
(2+sin x)ˣ | ln(2+sin x)+x cos x/(2+sin x) | (2+sin x)ˣ[... ] |
08 · Hipótesis reales
El dominio forma parte del resultado
Para definir g(x)h(x) mediante eh(x)ln g(x) con exponente real variable se exige normalmente g(x)>0. Una base negativa solo admite ciertos exponentes y no produce, en general, una función real derivable en un intervalo.
En productos y cocientes puede usarse ln|f| por intervalos donde f≠0. Los ceros y puntos excluidos deben analizarse aparte.
09 · Derivada relativa
Interpretar f′/f
La cantidad f′(x)/f(x) mide el cambio instantáneo relativo. Multiplicada por x produce la elasticidad:
Si E=2, un aumento relativo pequeño del 1% en x genera aproximadamente un 2% en f. Esta idea aparece en crecimiento, economía, algoritmos multiplicativos y análisis de errores.
10 · Elegir la técnica
Cuándo conviene usar logaritmos
Derivación directa
Expresión corta
Es ideal para una suma, un producto de dos factores o una potencia constante sencilla.
Derivación logarítmica
Estructura multiplicativa
Es preferible con muchos factores, cocientes anidados o variables simultáneamente en base y exponente.
El método no cambia la función: solo ofrece una representación intermedia más fácil de derivar.
11 · Exploración interactiva
Laboratorio: potencias variables y pendientes
Elegí una función, mové el punto a y reducí h. Compará la fórmula logarítmica con una secante numérica.
Base y exponente en movimiento
f(x)=xˣ
La base es positiva y la fórmula logarítmica es válida.
12 · Implementación
Potencias variables en JavaScript
function variablePower(g, dg, h, dh) {
return {
value(x) {
const base = g(x);
return base > 0 ? base ** h(x) : NaN;
},
derivative(x) {
const base = g(x);
if (!(base > 0)) return NaN;
const value = base ** h(x);
return value * (dh(x) * Math.log(base) + h(x) * dg(x) / base);
}
};
}
const xx = variablePower(x => x, () => 1, x => x, () => 1);
console.log(xx.derivative(2)); // 4(ln 2 + 1)13 · Comprobación numérica
Usar diferencias sin confundirlas con una demostración
function centralDifference(f, x, h = 1e-5) {
return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);
}
const f = x => x ** x;
console.log(centralDifference(f, 2));
console.log(2 ** 2 * (Math.log(2) + 1));La coincidencia aproxima una verificación. Cerca del borde del dominio hay que asegurar que x−h y x+h sigan siendo válidos.
14 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«xˣ se deriva con la regla de potencia»
La regla nxⁿ⁻¹ exige exponente constante. En xˣ cambian base y exponente.
«Después de obtener y′/y ya terminé»
Todavía falta multiplicar por y y sustituir la función original.
«ln(u+v)=ln u+ln v»
No existe una propiedad que separe logaritmos de sumas.
«La base de g(x)h(x) puede ser cualquier real»
Para la fórmula real general se requiere g(x)>0.
«Tomar logaritmos elimina las restricciones»
El dominio original debe conservarse y los ceros se analizan por separado.
15 · Práctica guiada
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 1: potencia xˣ
Derivá f(x)=xˣ.
Ver solución razonada
ln f=x ln x; entonces f′/f=ln x+1 y f′=xˣ(ln x+1), para x>0.
Ejercicio 2: exponente trigonométrico
Derivá g(x)=xsin x.
Ver solución razonada
g′=xsin x[cos x ln x+sin x/x], para x>0.
Ejercicio 3: base cuadrática
Derivá h(x)=(x²+1)ˣ.
Ver solución
h′=(x²+1)ˣ[ln(x²+1)+2x²/(x²+1)].
Ejercicio 4: producto de tres factores
Derivá p(x)=x²(x+1)³eˣ para x>0.
Ver solución razonada
p′=p[2/x+3/(x+1)+1].
Ejercicio 5: cociente
Derivá q(x)=√x/(x²+1).
Ver solución
q′=q[1/(2x)−2x/(x²+1)], para x>0.
Ejercicio 6: base exponencial
Derivá r(x)=(eˣ+1)x².
Ver solución razonada
r′=r[2x ln(eˣ+1)+x²eˣ/(eˣ+1)].
Ejercicio 7: mínimo de xˣ
Determiná el punto crítico positivo de xˣ.
Ver solución
xˣ>0, así que f′=0 cuando ln x+1=0: x=1/e.
Ejercicio 8: elasticidad
Calculá la elasticidad de f(x)=x⁵ para x>0.
Ver solución razonada
f′/f=5/x; por tanto E=x f′/f=5.
16 · Síntesis
Ideas para recordar
- Los logaritmos convierten productos en sumas y exponentes en factores.
- La derivada de
ln|y|esy′/ydondey≠0. D[gʰ]=gʰ[h′ln g+h g′/g]cuandog>0.- Después de despejar
y′/y, hay que multiplicar por la función original. - El dominio y los puntos donde los factores se anulan deben conservarse.
f′/fexpresa una tasa relativa de cambio.
El próximo tema estudia derivabilidad en funciones por partes y expresiones con valor absoluto.