01 · Derivar otra vez
La derivada también es una función
Si f′ es derivable, podemos obtener f″. El proceso continúa mientras exista suficiente regularidad:
Cambio
Pendiente o velocidad instantánea.
Cambio del cambio
Concavidad o aceleración.
Tercer orden
Cambio de aceleración o jerk.
02 · Notaciones
Primas, operadores y diferenciales
| Orden | Lagrange | Leibniz | Operador |
|---|---|---|---|
| 1 | f′(x) | df/dx | Df |
| 2 | f″(x) | d²f/dx² | D²f |
| 3 | f‴(x) | d³f/dx³ | D³f |
| n | f⁽ⁿ⁾(x) | dⁿf/dxⁿ | Dⁿf |
03 · Movimiento
Posición, velocidad, aceleración y jerk
Si s(t) mide posición:
Para s(t)=t³−6t²+9t:
Las unidades cambian con cada derivación: metros, m/s, m/s² y m/s³.
04 · Geometría
La segunda derivada describe cómo cambia la pendiente
f″(x)>0
Cóncava hacia arriba
Las pendientes aumentan; la gráfica tiene forma de copa.
f″(x)<0
Cóncava hacia abajo
Las pendientes disminuyen; la gráfica tiene forma de arco.
Un posible punto de inflexión aparece donde cambia el signo de f″. Que f″(a)=0 por sí solo no alcanza: x⁴ es un contraejemplo en cero.
05 · Polinomios
Cada derivación reduce el grado
Para f(x)=x⁵−3x³+2x:
En un polinomio de grado m, todas las derivadas de orden mayor que m son cero.
06 · Patrones exponenciales
La forma se conserva
Para bˣ, cada derivación aporta ln b:
Estos patrones permiten saltar directamente al orden n sin construir todos los intermedios.
07 · Ciclos trigonométricos
Seno y coseno repiten un ciclo de cuatro
Para decidir la forma basta calcular n mod 4. Si el argumento es ax, aparece además el factor aⁿ.
08 · Regla de Leibniz
Derivada n-ésima de un producto
La regla del producto generalizada es:
Para el segundo y tercer orden:
Los coeficientes siguen el triángulo de Pascal.
09 · Relaciones entre órdenes
Las funciones pueden satisfacer ecuaciones diferenciales
Las derivadas sucesivas revelan relaciones estructurales:
En lugar de describir una fórmula explícita, una ecuación diferencial relaciona una función con sus tasas de cambio. Es la base de modelos de oscilación, difusión y control.
10 · Existencia
Un orden superior exige más suavidad
Que f′(a) exista no garantiza que f″(a) exista. La función por partes del tema anterior puede tener una primera derivada común en la unión y segundas derivadas laterales diferentes.
Decimos que f∈Cⁿ cuando posee derivadas hasta orden n y todas son continuas.
11 · Exploración interactiva
Laboratorio: una familia de derivadas
Elegí una función, el orden y el punto. La curva amarilla representa la derivada seleccionada y se compara con una aproximación numérica.
Derivar repetidamente
f(x)=x⁴−2x²
La segunda derivada mide el cambio de la pendiente.
12 · Implementación
Derivación numérica por orden
function numericalDerivative(f, x, order, h = 1e-3) {
if (order === 1) return (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h);
if (order === 2) return (f(x + h) - 2 * f(x) + f(x - h)) / h ** 2;
if (order === 3) {
return (f(x + 2*h) - 2*f(x + h) + 2*f(x - h) - f(x - 2*h)) / (2*h ** 3);
}
throw new RangeError("Orden admitido: 1, 2 o 3");
}Las diferencias de orden alto amplifican el redondeo. Un paso demasiado pequeño puede empeorar el resultado, por lo que conviene contrastarlo con fórmulas exactas o diferenciación automática.
13 · Representación simbólica
Construir una secuencia de expresiones
function successiveDerivatives(expression, derive, count) {
const result = [expression];
for (let order = 1; order <= count; order += 1) {
result.push(derive(result[result.length - 1]));
}
return result;
}Guardar cada orden permite reutilizar resultados, simplificar progresivamente y detectar ciclos como el de seno y coseno.
14 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«f″ significa (f′)²»
No: f″ es la derivada de f′.
«Si f″(a)=0, a es siempre un punto de inflexión»
Debe verificarse un cambio de concavidad; x⁴ no cambia en cero.
«Una derivada de orden alto siempre existe»
Cada nuevo orden requiere que la derivada anterior sea derivable.
«d²f/dx² es (df/dx)²»
Es notación para derivar dos veces respecto de x.
«Un h más pequeño siempre mejora la aproximación»
El redondeo puede dominar cuando se restan valores casi iguales.
15 · Práctica guiada
Ejercicios de aplicación
Ejercicio 1: polinomio
Calculá hasta la cuarta derivada de x⁴−3x².
Ver solución razonada
f′=4x³−6x, f″=12x²−6, f‴=24x y f⁽⁴⁾=24.
Ejercicio 2: movimiento
Si s(t)=2t³−9t²+12t, hallá velocidad y aceleración.
Ver solución
v=6t²−18t+12 y a=12t−18.
Ejercicio 3: exponencial
Hallá la derivada de orden n de e3x.
Ver solución razonada
f⁽ⁿ⁾(x)=3ⁿe3x.
Ejercicio 4: ciclo del seno
Calculá la derivada número 2027 de sin x.
Ver solución
2027 mod 4=3; el resultado es −cos x.
Ejercicio 5: concavidad
Estudiá la concavidad de f(x)=x³−3x.
Ver solución razonada
f″=6x: es cóncava hacia abajo si x<0 y hacia arriba si x>0; hay inflexión en 0.
Ejercicio 6: regla de Leibniz
Calculá (uv)″.
Ver solución
Al derivar u′v+uv′ se obtiene u″v+2u′v′+uv″.
Ejercicio 7: ecuación diferencial
Verificá que y=cos(4x) satisface y″+16y=0.
Ver solución razonada
y″=−16cos(4x)=−16y, por lo que la suma es cero.
Ejercicio 8: unidades
¿Qué unidad tiene el jerk si la posición se mide en metros y el tiempo en segundos?
Ver solución
Cada derivación divide por segundos: el jerk se mide en m/s³.
16 · Síntesis
Ideas para recordar
- Una derivada de orden superior se obtiene derivando la anterior.
f″informa concavidad o aceleración;f‴, su cambio.- Los polinomios terminan en cero; exponenciales y trigonométricas siguen patrones.
f″(a)=0no garantiza un punto de inflexión.- La regla de Leibniz generaliza la derivada de productos.
- Las aproximaciones numéricas de orden alto son sensibles al paso y al redondeo.
El próximo tema usa la derivada para construir diferenciales y aproximaciones lineales.