Notaciones de la derivada

01 · Un concepto, varios lenguajes

Por qué existen distintas notaciones

La derivada puede presentarse con símbolos diferentes según qué aspecto queramos destacar. Todas las expresiones siguientes pueden representar la derivada de una función y = f(x):

No son conceptos diferentes. Cada notación aporta información o comodidad en determinados contextos:

• la notación de Lagrange destaca la función y sus derivadas sucesivas;
• la de Leibniz hace explícitas las variables dependiente e independiente;
• la notación de operador destaca la acción de derivar;
• la de Newton resulta compacta para cantidades que dependen del tiempo.

02 · Distinción fundamental

La función derivada y su valor en un punto

Si f(x) = x², la expresión f′(x) = 2x describe una nueva función. En cambio, f′(3) = 6 es un número: el valor de esa función derivada en x = 3.

También debemos distinguir f′ de f′(x). El primer símbolo nombra la función derivada; el segundo muestra su valor genérico en la entrada x. En contextos elementales suelen usarse casi indistintamente, pero la diferencia resulta útil al programar.

03 · Notación de Lagrange

Primas junto al nombre de la función

La notación más compacta coloca una prima después del nombre:

Esta notación resulta cómoda al trabajar con funciones nombradas, estudiar varios órdenes y escribir composiciones. No muestra explícitamente respecto de qué variable se deriva; normalmente se deduce del argumento.

04 · Notación de Leibniz

Hacer explícitas las variables

Si y = f(x), escribimos:

El símbolo indica que estudiamos el cambio de y respecto del cambio de x. También puede escribirse el operador aplicado a una expresión:

La fracción dy/dx nace del límite de cocientes Δy/Δx, pero no es una fracción ordinaria entre dos números independientes llamados dy y dx. Su manipulación debe estar respaldada por reglas matemáticas que estudiaremos más adelante.

05 · Evaluar después de derivar

La barra de evaluación

Para indicar el valor de una derivada de Leibniz en un punto usamos una barra vertical:

Si y = x², el procedimiento completo es:

La barra ayuda a separar dos operaciones: primero obtenemos una regla general y luego sustituimos el punto. Escribir solamente dy/dx = 6 podría sugerir erróneamente que la derivada vale 6 para todo x.

06 · Notación de operador

Derivar como una transformación

El símbolo D puede tratarse como un operador que recibe una función y devuelve su derivada:

El subíndice en Dx especifica la variable. Para una expresión:

Esta perspectiva se parece a una función de orden superior en programación:

// Conceptualmente: derivar recibe una función y devuelve otra.
const f = x => x ** 2;
const derivadaDeF = x => 2 * x;

console.log(derivadaDeF(3)); // 6

En temas posteriores construiremos reglas que permiten transformar expresiones. Por ahora, la analogía sirve para distinguir el operador D, la función de entrada f y la función resultante Df.

07 · Notación de Newton

Puntos para variables que dependen del tiempo

Cuando una cantidad depende del tiempo, es frecuente colocar un punto sobre su símbolo:

En movimiento, si s(t) es la posición, entonces ṡ(t) representa la velocidad. Dos puntos indican una segunda derivada respecto del tiempo:

La ventaja es su brevedad. La limitación es que la variable temporal queda implícita. No suele usarse para una función genérica de x cuando esa variable no representa tiempo.

08 · Derivar más de una vez

Notación para órdenes superiores

Podemos volver a derivar una función derivada. El número de veces que aplicamos la operación determina el orden:

En d²y/dx², el exponente del denominador no significa que primero calculemos (dx)². Toda la expresión es una convención para la segunda derivada. Su significado y aplicaciones se desarrollarán en el tema 29.

09 · Respecto de qué derivamos

La variable importa

En una función de una variable suele ser evidente cuál cambia. Aun así, la notación debe conservar esa información. Consideremos y = at², donde a es un parámetro constante:

Derivamos respecto de t, por lo que a se mantiene fijo. Si las letras representan unidades, la notación también ayuda a verificarlas:

En cursos posteriores aparecerán funciones con varias variables y derivadas parciales. Aquí trabajamos únicamente con funciones de una variable, por lo que no necesitamos introducir esa notación todavía.

10 · Cómo leer dy/dx

No es una fracción ordinaria

La notación de Leibniz conserva la apariencia de una razón porque la derivada surge del límite de Δy/Δx. Sin embargo, dy/dx representa una operación completa.

Más adelante estudiaremos diferenciales y veremos por qué ciertas manipulaciones similares a las de fracciones producen reglas correctas. Hasta entonces, conviene tratar d/dx como un operador indivisible.

11 · Traducir símbolos a código

Nombres explícitos para evitar ambigüedad

JavaScript no dispone de primas matemáticas en la sintaxis habitual de identificadores ni de una operación incorporada d/dx. Podemos usar nombres que conserven el significado:

const posicion = tiempo => tiempo ** 2;
const velocidad = tiempo => 2 * tiempo;

const t = 3;
const posicionEnT = posicion(t);   // s(t)
const velocidadEnT = velocidad(t); // s'(t) o ds/dt

console.log({ posicionEnT, velocidadEnT });

También podemos representar explícitamente una función y sus derivadas relacionadas:

const modelo = {
  f: x => x ** 3,
  primeraDerivada: x => 3 * x ** 2,
  segundaDerivada: x => 6 * x
};

console.log(modelo.f(2));                // 8
console.log(modelo.primeraDerivada(2));  // 12
console.log(modelo.segundaDerivada(2));  // 12

12 · Exploración interactiva

Laboratorio: traductor de notaciones

Elegí un modelo, una convención y el orden. El traductor muestra la misma derivada como regla general y evaluada en un punto.

Preguntas para explorar

1. Cambiá solamente la notación. ¿Qué información permanece igual?
2. Compará Lagrange y Leibniz. ¿Cuál muestra explícitamente la variable independiente?
3. Elegí un modelo temporal y la notación de Newton. ¿Qué información queda implícita?
4. Cambiá al segundo orden y compará los símbolos usados por cada convención.

13 · Metadatos en programas

Representar la notación sin confundirla con el cálculo

La forma de mostrar una derivada puede almacenarse separada de la función que calcula sus valores:

const derivada = {
  variable: "x",
  dependiente: "y",
  orden: 1,
  expresion: "2x",
  evaluar: x => 2 * x
};

function etiquetaLeibniz(datos) {
  const potencia = datos.orden === 1 ? "" : `^${datos.orden}`;
  return `d${potencia}${datos.dependiente}/d${datos.variable}${potencia}`;
}

console.log(etiquetaLeibniz(derivada)); // dy/dx
console.log(derivada.evaluar(3));        // 6

La cadena "2x" sirve para presentar la expresión; la función evaluar realiza el cálculo. Separar ambos propósitos evita intentar ejecutar directamente notación matemática como si fuera código JavaScript válido.

14 · Comprensión

Confusiones frecuentes

15 · Práctica guiada

Ejercicios de traducción

Ejercicio 1: reconocer objetos

Clasificá f′, f′(x) y f′(2) como función, expresión dependiente de una variable o valor puntual.

Ejercicio 2: traducir a Leibniz

Si y = f(x) y f′(x) = 3x², escribí la misma información con notación de Leibniz y evaluála en x = 2.

Ejercicio 3: órdenes superiores

Escribí la tercera derivada de y = f(x) en notaciones de Lagrange, Leibniz y operador.

Ejercicio 4: contexto temporal

Una posición s(t) tiene velocidad v(t). Escribí esa relación con tres notaciones.

Ejercicio 5: nombres en código

Completá el objeto para representar f′(2).

const f = x => x ** 2;
const derivadaDeF = x => 2 * x;

const resultado = {
  funcion: f(2),
  derivada: null // completar
};

const f = x => x ** 2;
const derivadaDeF = x => 2 * x;

const resultado = {
  funcion: f(2),
  derivada: derivadaDeF(2)
};

console.log(resultado); // { funcion: 4, derivada: 4 }

16 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos la derivada como función: cómo construir su dominio, evaluar sus valores y relacionar su gráfico con el de la función original.