¿Qué es una ecuación diferencial?

01 · Punto de partida

Conocer el estado no siempre es suficiente

Un número puede describir cómo se encuentra un sistema en un instante: la temperatura es de 70 °C, una población tiene 1500 individuos o un objeto está a 20 metros del origen. Pero ese dato aislado no explica qué ocurrirá después. Para predecir la evolución necesitamos saber cómo está cambiando el sistema.

En muchos fenómenos la regla más natural no indica directamente el valor futuro. Indica su razón de cambio:

• La velocidad expresa cómo cambia la posición con el tiempo.
• La aceleración expresa cómo cambia la velocidad.
• La tasa de contagio expresa cómo cambia el número de personas infectadas.
• La corriente eléctrica expresa cómo cambia la carga.
• La velocidad de enfriamiento depende de la diferencia de temperaturas.

Una ecuación diferencial permite escribir esas reglas mediante derivadas. En lugar de relacionar solamente números desconocidos, relaciona una función desconocida con una o más de sus derivadas.

02 · Definición

Una ecuación cuya incógnita es una función

En una ecuación algebraica como 2x + 3 = 11, la incógnita es un número. Resolverla consiste en encontrar x = 4. En cambio, en la ecuación diferencial:

la incógnita es una función completa y(t). La igualdad exige que, en cada instante t, la derivada sea igual al doble del valor de la función.

Por ejemplo, y(t) = 3e2t cumple la regla porque:

No buscamos un único valor de t para el que la igualdad funcione. Buscamos una función para la cual sea cierta en todo el intervalo considerado.

03 · Lectura de la ecuación

Anatomía de una ecuación diferencial

Consideremos un modelo elemental de crecimiento:

Cada símbolo cumple una función distinta. Identificarlos evita tratar la expresión como una fórmula opaca.

t: variable independiente

Representa el tiempo, respecto del cual observamos la evolución.

P(t): función desconocida

Representa el estado; en este caso, una población dependiente del tiempo.

dP/dt: derivada

Es la razón de cambio instantánea de la población respecto del tiempo.

k: parámetro

Caracteriza el modelo y controla la rapidez y el sentido del cambio.

La ecuación se lee: «la razón de cambio de la población es proporcional a la población actual». Si k > 0, crece; si k < 0, disminuye; si k = 0, permanece constante.

Las unidades también cuentan una historia

Si P se mide en individuos y t en días, entonces dP/dt se mide en individuos por día. Para que kP tenga la misma unidad, k debe medirse en 1/día.

04 · Un concepto, varias escrituras

Notaciones para las derivadas

La derivada puede escribirse de varias maneras. La elección depende del contexto, pero todas pueden expresar la misma idea:

dy/dt = ky, y′(t) = ky(t) y ẏ = ky pueden representar la misma ecuación. La notación de Leibniz facilita interpretar unidades; la prima suele ser más cómoda en expresiones breves.

05 · Primer mapa del territorio

No todas las ecuaciones diferenciales son iguales

Más adelante las clasificaremos con detalle. Por ahora alcanza con reconocer tres preguntas que anticipan su dificultad y las herramientas necesarias.

Este curso se concentra en ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de ellas. Las ecuaciones en derivadas parciales requieren un desarrollo propio.

06 · Qué significa resolver

Una solución debe cumplir la ecuación

Una función es solución en un intervalo si posee las derivadas necesarias y, al sustituirla, convierte la ecuación en una igualdad verdadera para todos los puntos del intervalo.

Comprobemos si y(t) = 4e−0.5t resuelve y′ = −0.5y:

1. 1
   Función candidata.

   y(t) = 4e−0.5t.

2. 2
   Calculamos su derivada.

   y′(t) = −2e−0.5t.

3. 3
   Evaluamos el otro lado.

   −0.5y(t) = −2e−0.5t.

4. 4
   Comparamos.

   Las expresiones coinciden; la función es solución.

En cambio, y(t) = 4 − 0.5t no es solución: su derivada vale −0.5, mientras que −0.5y(t) = −2 + 0.25t. Coincidir accidentalmente en un punto no alcanza.

Una ecuación suele tener una familia de soluciones

Todas las funciones siguientes resuelven y′ = −0.5y:

La constante C puede tomar distintos valores. Cada elección produce una curva diferente, aunque todas respetan la misma ley de cambio.

07 · Seleccionar una trayectoria

La ecuación y el estado inicial trabajan juntos

Una ley de evolución no suele determinar por sí sola una única trayectoria. También necesitamos el estado del sistema en algún instante. Si agregamos:

la condición y(0) = 4 selecciona C = 4 dentro de la familia. La combinación de una ecuación diferencial y datos especificados en un instante se llama problema de valor inicial.

En programación, la ecuación se parece a la lógica de actualización compartida por las simulaciones; la condición inicial se parece a los datos particulares de una ejecución.

08 · Del relato a la ecuación

Las ecuaciones diferenciales como modelos

Una ecuación diferencial no es el fenómeno real: es una representación construida mediante variables, observaciones y supuestos. El modelado comienza antes de resolver.

1. 1
   Elegir el estado.

   ¿Qué cantidad desconocida queremos seguir?

2. 2
   Expresar la ley de cambio.

   ¿De qué depende la derivada?

3. 3
   Definir parámetros y unidades.

   ¿Qué constantes caracterizan al sistema?

4. 4
   Agregar datos iniciales.

   ¿Desde qué estado comenzamos?

5. 5
   Revisar supuestos.

   ¿Qué omitimos y durante qué intervalo será razonable?

Ejemplo: enfriamiento de una bebida

Una taza tiene temperatura T(t) y la habitación mantiene una temperatura Ta. Un modelo afirma que la velocidad de enfriamiento es proporcional a la diferencia:

Si la bebida está más caliente, la derivada es negativa y se enfría. Si está más fría, la derivada es positiva y se calienta. Cuando T = Ta, la derivada vale cero: el modelo predice equilibrio.

La ecuación ya permite razonar sin resolverla, pero supone que Ta y k son constantes y que la bebida tiene una temperatura uniforme.

09 · Del continuo a los datos

¿Cómo representa una computadora una evolución?

Una solución matemática es una función definida para todos los instantes de un intervalo. Una computadora no almacena infinitos valores: representa la trayectoria mediante muestras (t, y) y calcula estados sucesivos.

Si conocemos el estado, la ecuación proporciona la pendiente f(t, y). Para un intervalo muy pequeño Δt, anticipamos:

Este principio se desarrollará con Euler y Runge–Kutta: usar información local para construir una trayectoria aproximada.

10 · Exploración visual

Laboratorio: una ley de cambio, muchas trayectorias

El campo de líneas muestra la pendiente indicada por y′ = ky en distintos puntos. La curva representa la solución que comienza en y(0) = y₀. Modificá k, el estado inicial y el instante observado.

Las líneas violetas representan pendientes locales, la curva dorada es la solución y el punto coral indica el estado seleccionado.

Preguntas para explorar

1. Dejá k = 0.5 y aumentá y₀. ¿Cambia la forma cualitativa o solo la escala?
2. Elegí un k negativo. ¿Qué signo tiene la derivada cuando y es positivo?
3. Colocá k = 0. ¿Qué muestran el campo, la curva y la razón de cambio?
4. Compará k = 0.2 con k = 0.7. ¿Cuál evoluciona más rápido?

11 · Representación en código

Separar la ley de cambio de la solución

Podemos representar una ecuación de primer orden mediante una función que recibe tiempo y estado, y devuelve la razón de cambio:

function crearModeloCrecimiento(k) {
  return function derivada(t, y) {
    return k * y;
  };
}

const derivada = crearModeloCrecimiento(0.5);
console.log(derivada(0, 1.5)); // 0.75
console.log(derivada(2, 4));   // 2

derivada no devuelve el estado futuro: devuelve la velocidad con la que el estado cambia en (t, y).

Evaluar una solución conocida

Para y′ = ky con y(0) = y₀, la solución es y(t) = y₀ekt:

function solucionCrecimiento(t, yInicial, k) {
  return yInicial * Math.exp(k * t);
}

const yInicial = 1.5;
const k = 0.5;

for (let t = 0; t <= 4; t += 1) {
  const y = solucionCrecimiento(t, yInicial, k);
  console.log({ t, y, razonDeCambio: k * y });
}

Conviene separar el modelo diferencial de una solución conocida. En problemas reales podremos conocer el primero sin tener una fórmula exacta para la segunda.

Comprobación numérica mediante una diferencia

function comprobarSolucion(solucion, modelo, t, paso = 1e-5) {
  const y = solucion(t);
  const aproximada = (solucion(t + paso) - y) / paso;
  const esperada = modelo(t, y);

  return {
    derivadaAproximada: aproximada,
    derivadaEsperada: esperada,
    diferencia: Math.abs(aproximada - esperada)
  };
}

const solucion = t => 1.5 * Math.exp(0.5 * t);
const modelo = (t, y) => 0.5 * y;
console.log(comprobarSolucion(solucion, modelo, 2));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: reconocer los componentes

En dA/dt = −0.08A, con A en gramos y t en horas, identificá variable independiente, función desconocida, significado y unidad de la derivada, unidad de 0.08 y sentido del cambio.

Ejercicio 2: comprobar una solución

Determiná si y(t) = 5e3t resuelve y′ = 3y y si cumple y(0) = 2.

Ejercicio 3: interpretar sin resolver

La temperatura satisface T′ = −0.1(T − 22). Explicá qué sucede para T = 80, T = 10 y T = 22.

Ejercicio 4: construir un modelo

Una cuenta tiene saldo S(t) e interés continuo de tasa anual r, sin depósitos ni extracciones. Escribí la ecuación y una condición inicial para un saldo de 1000.

const tasaAnual = 0.05;
const saldoInicial = 1000;
const derivadaSaldo = (t, saldo) => tasaAnual * saldo;

console.log(derivadaSaldo(0, saldoInicial)); // 50 por año

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema profundizaremos el paso de una derivada a una ley de evolución: interpretaremos su signo y magnitud y traduciremos enunciados a reglas computables.