De una derivada a una ley de evolución

01 · Punto de partida

Una derivada describe lo que está ocurriendo ahora

Un velocímetro no indica dónde estará el automóvil dentro de una hora. Muestra con qué rapidez cambia su posición en este instante. De manera análoga, la derivada dy/dt no entrega directamente el próximo valor de y: informa su cambio instantáneo.

Si y(t) representa el estado de un sistema, la ecuación

define una regla: para cada instante t y estado y, la función f devuelve la velocidad de cambio. Esa regla local es una ley de evolución.

02 · Del intervalo al instante

Razón de cambio promedio e instantánea

Supongamos que la temperatura de una bebida pasa de 80 °C a 68 °C en cuatro minutos. La razón de cambio promedio es:

El resultado resume todo el intervalo: en promedio, la temperatura disminuyó 3 °C por minuto. No afirma que haya bajado exactamente esa cantidad durante cada minuto.

Para conocer el cambio en un instante t, comparamos valores en intervalos cada vez menores:

03 · Signo y magnitud

Cómo leer el valor de una derivada

El signo indica el sentido del cambio y el valor absoluto indica su rapidez. Si P(t) es una población medida en individuos y t en días:

04 · Análisis dimensional

Las unidades revelan el significado

Una derivada divide la unidad del estado por la unidad de la variable independiente. Si x se mide en metros y t en segundos, entonces dx/dt se mide en metros por segundo.

En y′ = ky, las unidades también determinan las de k:

Por eso una tasa de 0.08 por hora no puede introducirse sin conversión en un programa que mide el tiempo en segundos.

05 · Formas de evolución

La derivada puede depender de distintas cantidades

La forma de f(t, y) expresa qué información determina el cambio:

Cambio constante

En y′ = 3, el sistema gana tres unidades por unidad de tiempo. La pendiente es siempre la misma y las soluciones son rectas: y(t) = 3t + C.

Cambio proporcional al estado

En y′ = 0.2y, duplicar el estado duplica su velocidad de crecimiento. La pendiente cambia durante la evolución y las soluciones son exponenciales.

Cambio orientado hacia un equilibrio

En T′ = −0.1(T − 20), la temperatura cambia según su diferencia respecto del ambiente:

• Si T > 20, entonces T′ < 0 y la temperatura baja.
• Si T < 20, entonces T′ > 0 y la temperatura sube.
• Si T = 20, entonces T′ = 0: hay equilibrio.

06 · Del enunciado a la ecuación

Traducir palabras a una ley de cambio

Antes de calcular conviene identificar el estado, el tiempo, las entradas y las salidas. Un procedimiento útil es:

1. 1
   Elegir el estado.

   Nombrar la cantidad que evoluciona, por ejemplo V(t) para un volumen.

2. 2
   Fijar unidades.

   Indicar en qué se miden el estado y el tiempo.

3. 3
   Describir entradas y salidas.

   Todo aporte suma; toda pérdida resta.

4. 4
   Expresar la razón neta.

   Escribir estado′ = entradas − salidas.

5. 5
   Comprobar dimensiones y signos.

   Ambos lados deben tener las mismas unidades y responder de forma razonable.

Ejemplo: tanque con flujo

Un tanque recibe 5 litros por minuto y pierde el 4 % de su volumen por minuto. Si V(t) se mide en litros:

El primer término es un aporte constante; el segundo es una salida dependiente del estado. Para V = 50, V′ = 3 L/min. Para V = 125, V′ = 0: entradas y salidas se equilibran.

07 · Predicción local

De la pendiente al próximo estado

La derivada permite una aproximación lineal en un intervalo corto. Si conocemos y(t) y su razón de cambio, entonces:

Como y′ = f(t,y), obtenemos la regla:

Para el tanque, con V(0) = 50 y Δt = 0.5 min:

Esta es la idea esencial del método de Euler. No es una igualdad exacta: durante el paso, el estado cambia y con él puede cambiar también la pendiente.

08 · Exploración interactiva

Laboratorio: construir una trayectoria con cambios locales

El modelo y′ = a − by combina una entrada constante con una pérdida proporcional. Modificá el estado inicial, los parámetros y el tamaño de paso. La curva dorada es la solución exacta; los puntos coral son aproximaciones obtenidas paso a paso.

La línea violeta horizontal marca el equilibrio. Compará la separación entre puntos y curva al cambiar el tamaño del paso.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué ocurre cuando el estado inicial coincide con a/b?
2. ¿Cómo cambia el equilibrio al aumentar solamente la entrada a?
3. Compará Δt = 2 con Δt = 0.25. ¿Cuál sigue mejor la curva?
4. Colocá el estado inicial por encima del equilibrio. ¿Qué signo tiene la pendiente?

09 · Representación en código

Una ley de evolución es una función computable

En JavaScript representamos el lado derecho de y′ = f(t,y) con una función que recibe el instante y el estado y devuelve la derivada:

function crearLeyTanque(entrada, proporcionSalida) {
  return function derivada(t, volumen) {
    return entrada - proporcionSalida * volumen;
  };
}

const derivadaVolumen = crearLeyTanque(5, 0.04);

console.log(derivadaVolumen(0, 50));  // 3 litros/minuto
console.log(derivadaVolumen(0, 125)); // 0: equilibrio
console.log(derivadaVolumen(0, 150)); // -1 litro/minuto

La función no modifica el volumen ni calcula por sí sola una trayectoria. Solo responde cuál es el cambio local para el estado consultado.

Avanzar un paso

function avanzarUnPaso(derivada, t, y, deltaT) {
  const pendiente = derivada(t, y);
  return y + pendiente * deltaT;
}

const siguienteVolumen = avanzarUnPaso(
  derivadaVolumen,
  0,    // minuto actual
  50,   // litros actuales
  0.5   // duración del paso
);

console.log(siguienteVolumen); // 51.5 litros

Construir una trayectoria

function simular(derivada, estadoInicial, tFinal, deltaT) {
  let t = 0;
  let y = estadoInicial;
  const trayectoria = [{ t, y }];

  while (t < tFinal) {
    const paso = Math.min(deltaT, tFinal - t);
    y = y + derivada(t, y) * paso;
    t = t + paso;
    trayectoria.push({ t, y });
  }

  return trayectoria;
}

console.table(simular(derivadaVolumen, 50, 5, 0.5));

10 · Comprensión

Confusiones frecuentes

11 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: interpretar signo, magnitud y unidad

La masa de una sustancia satisface M′(3) = −2.4, con M en gramos y t en horas. Interpretá la afirmación y estimá M(3.1) si M(3) = 20.

Ejercicio 2: construir una ley

Una cuenta recibe 100 pesos mensuales y gana un 0.5 % mensual sobre el saldo S(t). Escribí su ley de evolución.

Ejercicio 3: encontrar un equilibrio

Para y′ = 12 − 0.3y, encontrá el estado de equilibrio y determiná el sentido del cambio cuando y = 20 y cuando y = 60.

Ejercicio 4: detectar el error de programación

¿Qué falla en y = y + derivada(t, y) si el paso temporal es 0.25 segundos?

12 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema distinguiremos con precisión la variable independiente, la función desconocida, los parámetros y el estado del sistema.