Variables, parámetros y estado del sistema

01 · Punto de partida

Una letra no explica por sí sola qué representa

Consideremos la ecuación T′ = −k(T − Ta). Los símbolos aparecen juntos, pero no cumplen el mismo papel. t indica cuándo observamos el fenómeno, T(t) describe su estado, k caracteriza la rapidez del proceso y Ta representa la temperatura del ambiente.

Para interpretar, resolver o programar una ecuación diferencial debemos saber:

• qué cantidad avanza de manera independiente;
• qué función estamos buscando;
• qué valores resumen el estado actual;
• qué parámetros definen el modelo concreto;
• qué condiciones seleccionan una trayectoria;
• qué unidades y restricciones posee cada cantidad.

02 · Mapa del modelo

Los componentes de una ecuación diferencial

Una ecuación de primer orden suele escribirse en forma explícita como:

El punto y coma es una convención útil: separa las variables que cambian durante una trayectoria de los parámetros θ que permanecen fijos para esa ejecución.

03 · Eje de evolución

La variable independiente

La variable independiente es aquella respecto de la cual se derivan las funciones desconocidas. En modelos dinámicos suele ser el tiempo y se representa con t, pero no es obligatorio.

Que una variable sea «independiente» no significa que carezca de restricciones. Puede pertenecer a un intervalo, tener una unidad específica y avanzar solo en determinado sentido dentro de la simulación.

04 · Incógnita y fotografía

Función desconocida y estado actual

La incógnita de una ecuación diferencial no es un número aislado, sino una función. Resolver el problema significa determinar y(t) en un intervalo. En cambio, y(t₁) es solo el estado en un instante particular.

En la ecuación de enfriamiento, la función desconocida es toda la curva T(t). Si a los cinco minutos la bebida está a 62 °C, entonces T(5)=62 es un estado particular, no la solución completa.

El estado debe contener memoria suficiente

La posición de un objeto no basta para predecir su movimiento si también importa la velocidad. Para un sistema mecánico de segundo orden podemos usar el estado [x, v]: posición y velocidad. Dos objetos en el mismo lugar pueden evolucionar de manera diferente si sus velocidades son distintas.

05 · Familia de modelos

Parámetros y constantes

Un parámetro se mantiene fijo mientras calculamos una trayectoria, pero puede cambiar entre escenarios. En T′ = −k(T − Ta), elegir otros valores de k o Ta produce otro modelo dentro de la misma familia.

Constante matemática

Posee un valor universal dentro de la teoría, como π o e.

Parámetro del modelo

Caracteriza el sistema: masa, tasa de crecimiento, resistencia o temperatura ambiente.

Entrada externa

Valor impuesto desde fuera que puede variar con el tiempo, como u(t).

Valor fijo del experimento

Se mantiene por decisión durante una ejecución, aunque no sea universal.

La distinción depende del análisis. Una temperatura ambiente puede tratarse como parámetro constante en una práctica corta o como entrada Ta(t) en un modelo meteorológico.

06 · Selección de trayectoria

La condición inicial no es un parámetro de la ley

La ecuación diferencial describe cómo evoluciona el sistema desde cualquier estado admisible. La condición inicial indica desde cuál comienza el caso que queremos estudiar:

Conservar θ y cambiar y₀ produce otra trayectoria bajo la misma ley. Cambiar θ modifica la propia ley de evolución.

El instante inicial t₀ también forma parte de la condición. En una ecuación que depende explícitamente del tiempo, comenzar con el mismo estado en otro instante puede generar una evolución diferente.

07 · Coherencia dimensional

Cada símbolo necesita significado y unidad

Analicemos T′ = −k(T − Ta) si el tiempo se mide en minutos:

Documentar unidades permite detectar errores. Si k fue medido por segundo y el algoritmo avanza en minutos, es necesario convertir una de las escalas antes de simular.

08 · Una o varias cantidades

Estado escalar y estado vectorial

Un solo número es suficiente cuando toda la información relevante puede resumirse en una cantidad. Si varias cantidades interactúan, el estado es un vector.

En forma vectorial, una ecuación de primer orden se escribe:

La función f recibe todo el estado y devuelve un vector de derivadas con igual cantidad de componentes.

function derivadaMovimiento(t, estado, gravedad) {
  const [posicion, velocidad] = estado;

  return [
    velocidad,  // dx/dt
    -gravedad   // dv/dt
  ];
}

console.log(derivadaMovimiento(0, [20, 5], 9.81));
// [5, -9.81]

09 · Exploración interactiva

Laboratorio: qué cambia al modificar cada rol

Explorá T′ = −k(T − Ta). El tiempo selecciona un punto de la trayectoria; T₀ selecciona otra trayectoria; k y Ta modifican el modelo.

La línea violeta marca la temperatura ambiente, la curva dorada muestra la solución y el punto coral representa el estado en el instante seleccionado.

Preguntas para explorar

1. Mové solamente t. ¿Cambia el modelo o solo el punto observado?
2. Cambiá T₀. ¿Qué permanece fijo y qué curva aparece?
3. Aumentá k. ¿Cómo cambia la rapidez de aproximación al ambiente?
4. Elegí T₀ < Ta. ¿Qué signo adquiere la derivada?

10 · Diseño del programa

Representar explícitamente cada rol

Una estructura de datos puede mantener juntos los parámetros, sus unidades y la condición inicial:

const problema = {
  parametros: {
    temperaturaAmbiente: 20, // °C
    k: 0.2                  // 1/min
  },
  condicionInicial: {
    tiempo: 0,              // min
    estado: 80              // °C
  }
};

function derivadaTemperatura(t, temperatura, parametros) {
  const { temperaturaAmbiente, k } = parametros;
  return -k * (temperatura - temperaturaAmbiente);
}

const { tiempo, estado } = problema.condicionInicial;
const cambioInicial = derivadaTemperatura(
  tiempo,
  estado,
  problema.parametros
);

console.log(cambioInicial); // -12 °C/min

El argumento t se conserva aunque esta ecuación sea autónoma. Así todas las leyes pueden compartir la interfaz f(t, estado, parametros).

Validar antes de simular

const problema = {
  parametros: {
    temperaturaAmbiente: 20, // °C
    k: 0.2                  // 1/min
  },
  condicionInicial: {
    tiempo: 0,              // min
    estado: 80              // °C
  }
};

function validarProblema({ parametros, condicionInicial }) {
  if (!Number.isFinite(parametros.k) || parametros.k <= 0) {
    throw new RangeError("k debe ser un número positivo");
  }

  if (!Number.isFinite(parametros.temperaturaAmbiente)) {
    throw new TypeError("La temperatura ambiente debe ser numérica");
  }

  if (!Number.isFinite(condicionInicial.tiempo) ||
      !Number.isFinite(condicionInicial.estado)) {
    throw new TypeError("La condición inicial no es válida");
  }
}

validarProblema(problema);
console.log("Problema válido");

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: identificar los roles

En P′ = rP(1 − P/K), con P(0)=120, identificá variable independiente, función desconocida, estado, parámetros y condición inicial.

Ejercicio 2: deducir unidades

Si P se mide en individuos y t en años, ¿qué unidades tienen r y K en el modelo anterior?

Ejercicio 3: distinguir modelo y trayectoria

Dos bebidas obedecen T′ = −0.1(T−22); una comienza a 80 °C y otra a 10 °C. ¿Comparten modelo, parámetros y trayectoria?

Ejercicio 4: diseñar el estado

Para predecir un péndulo, ¿por qué el ángulo por sí solo no suele ser un estado suficiente?

13 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema usaremos estos componentes para clasificar ecuaciones por número de variables, orden, grado, linealidad y dependencia explícita del tiempo.