01 · Punto de partida
Clasificar es reconocer la estructura del problema
Las ecuaciones y′ = 3y, y″ + y = 0 y ∂u/∂t = κ∂²u/∂x² contienen derivadas, pero no plantean el mismo tipo de problema. Cambian la cantidad de variables independientes, la información inicial necesaria y los métodos que pueden utilizarse.
Clasificar una ecuación permite anticipar:
- si describe una trayectoria o un campo distribuido;
- cuántas condiciones iniciales o de frontera podrían necesitarse;
- cuántas componentes tendrá una representación de estado;
- si puede aplicarse el principio de superposición;
- si las reglas cambian explícitamente con el tiempo;
- qué familia de técnicas analíticas o numéricas conviene explorar.
02 · Método de lectura
Una ruta ordenada para clasificar
Conviene responder las preguntas siempre en el mismo orden:
- Contar variables independientes.
¿Las derivadas se toman respecto de una sola variable o de varias?
- Encontrar la derivada de mayor orden.
Su orden determina el orden de toda la ecuación.
- Revisar si es polinómica en las derivadas.
Solo entonces tiene sentido asignar un grado.
- Comprobar linealidad.
La función desconocida y sus derivadas deben aparecer linealmente.
- Buscar dependencia explícita.
En una EDO, determina si es autónoma o no autónoma.
03 · Variables independientes
Ecuaciones ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales
Una variable independiente
Ecuación diferencial ordinaria
Una EDO contiene derivadas ordinarias de una o más funciones respecto de una sola variable.
Varias variables independientes
Ecuación en derivadas parciales
Una EDP contiene derivadas parciales porque la función depende de dos o más variables independientes.
Ejemplo de EDO
La posición depende solamente del tiempo. Todas las derivadas se toman respecto de t.
Ejemplo de EDP
La temperatura u(x,t) depende de la posición y del tiempo. La ecuación relaciona cambios temporales y espaciales.
04 · Derivada dominante
El orden de una ecuación
El orden es el de la derivada más alta que aparece. No importa cuántas veces aparezcan derivadas de orden menor ni la potencia a la que estén elevadas.
| Ecuación | Derivada más alta | Orden |
|---|---|---|
y′ + 4y = 0 | y′ | 1 |
y″ + 2y′ + y = 3 | y″ | 2 |
(y″)³ + y′ = t | y″ | 2 |
∂u/∂t = κ∂²u/∂x² | ∂²u/∂x² | 2 |
Una EDO de orden n suele requerir n datos independientes para seleccionar una solución particular. Además, puede convertirse en un sistema de n ecuaciones de primer orden.
05 · Potencia de la derivada
El grado no es lo mismo que el orden
Cuando la ecuación es un polinomio en sus derivadas, el grado es el exponente de la derivada de mayor orden, una vez eliminadas fracciones y radicales que involucren derivadas.
| Ecuación | Orden | Grado | Motivo |
|---|---|---|---|
y″ + y = 0 | 2 | 1 | y″ aparece a la primera potencia. |
(y″)³ + (y′)² = y | 2 | 3 | La derivada de mayor orden está al cubo. |
sin(y′) + y = 0 | 1 | No definido | No es polinómica en y′. |
06 · Estructura algebraica
Ecuaciones lineales y no lineales
Una EDO lineal de orden n puede escribirse como:
La función desconocida y sus derivadas:
- aparecen solamente a la primera potencia;
- no se multiplican entre sí;
- no están dentro de funciones como seno, exponencial o valor absoluto;
- tienen coeficientes que dependen, como máximo, de la variable independiente.
| Ecuación | Clasificación | Razón |
|---|---|---|
t²y″ + sin(t)y′ − 3y = et | Lineal | Los coeficientes dependen solo de t. |
y′ + y² = 0 | No lineal | Aparece y². |
yy′ = 1 | No lineal | Se multiplican y e y′. |
y″ + sin(y) = 0 | No lineal | La incógnita está dentro del seno. |
y′ + ety = t | Lineal | et es solo un coeficiente conocido. |
07 · Dentro de las lineales
Lineal homogénea y no homogénea
Esta clasificación se aplica aquí a ecuaciones lineales. Si el término externo g(t) es cero, la ecuación es homogénea; si no, es no homogénea.
Sin forzamiento externo
y″ + 4y = 0
Es lineal homogénea. La suma de soluciones y sus múltiplos sigue siendo solución.
Con forzamiento externo
y″ + 4y = cos(t)
Es lineal no homogénea. El coseno actúa como entrada o fuerza aplicada.
En ambos casos la ecuación sigue siendo lineal. «No homogénea» no significa «no lineal».
08 · Dependencia explícita
Ecuaciones autónomas y no autónomas
Una EDO de primer orden es autónoma si puede escribirse como y′ = f(y): la ley depende del estado, pero no menciona explícitamente a la variable independiente.
Autónoma
y′ = y(1−y)
Un mismo estado tiene la misma derivada sin importar cuándo se alcanza.
No autónoma
y′ = t−y
La pendiente depende del estado y también del instante.
Una ecuación puede ser lineal y autónoma, lineal y no autónoma, no lineal y autónoma o no lineal y no autónoma. Son criterios independientes.
09 · Lectura completa
Clasificar dos ecuaciones paso a paso
Ejemplo A: oscilador amortiguado
- EDO: todas las derivadas son respecto del tiempo.
- Segundo orden: la derivada más alta es
y″. - Grado uno:
y″aparece a la primera potencia. - Lineal homogénea:
yy sus derivadas aparecen linealmente y no hay forzamiento. - Autónoma: con
m,cykconstantes,tno aparece explícitamente.
Ejemplo B: crecimiento estacional
- EDO: hay una sola variable independiente.
- Primer orden y grado uno: la derivada más alta es
P′y aparece linealmente. - No lineal: aparece el producto que contiene
P². - No autónoma: el factor
sin(t)introduce dependencia explícita del tiempo.
10 · Exploración interactiva
Laboratorio: clasificador razonado
Seleccioná una ecuación y compará cada criterio. La explicación señala la evidencia usada; el objetivo no es memorizar una etiqueta, sino justificarla.
Anatomía de la clasificación
y′ + 3y = 0
Una variable independiente; y′ es la derivada más alta; y e y′ aparecen a la primera potencia; t no aparece explícitamente.
11 · Representación en código
Describir metadatos sin fingir álgebra simbólica
Un programa educativo puede guardar la clasificación ya justificada. Analizar automáticamente expresiones matemáticas arbitrarias requeriría un parser y reglas de álgebra simbólica; buscar caracteres en una cadena no sería confiable.
const ecuaciones = [
{
expresion: "y' + 3y = 0",
tipo: "EDO",
orden: 1,
grado: 1,
lineal: true,
homogenea: true,
autonoma: true
},
{
expresion: "(y'')² + y = 0",
tipo: "EDO",
orden: 2,
grado: 2,
lineal: false,
homogenea: null,
autonoma: true
},
{
expresion: "sin(y') + y = 0",
tipo: "EDO",
orden: 1,
grado: null,
lineal: false,
homogenea: null,
autonoma: true
}
];
for (const ecuacion of ecuaciones) {
const grado = ecuacion.grado ?? "no definido";
console.log(
`${ecuacion.expresion}: orden ${ecuacion.orden}, grado ${grado}`
);
}Usar la clasificación para decidir
const ecuacion = {
expresion: "y'' + 4y = 0",
tipo: "EDO",
orden: 2,
grado: 1,
lineal: true,
homogenea: true,
autonoma: true
};
function sugerirRepresentacion(modelo) {
if (modelo.tipo === "EDP") {
return "Representar un campo sobre una malla espacial";
}
if (modelo.orden > 1) {
return `Usar un estado con ${modelo.orden} componentes`;
}
return "Usar un estado escalar o vectorial de primer orden";
}
console.log(sugerirRepresentacion(ecuacion));
// Usar un estado con 2 componentes12 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«El orden es la potencia más grande»
El orden proviene de la derivada de mayor nivel. En (y′)⁵ + y = 0, el orden es uno y el grado es cinco.
«Todas las ecuaciones tienen grado»
El grado no está definido si la ecuación no puede expresarse como polinomio en las derivadas.
«Si aparece sin(t), la ecuación es no lineal»
y′ + sin(t)y = 0 es lineal porque el seno forma parte de un coeficiente conocido.
«Si aparece sin(y), la ecuación es lineal»
y′ + sin(y)=0 es no lineal porque una función no lineal se aplica a la incógnita.
«No homogénea significa no lineal»
Una ecuación lineal con término externo distinto de cero es no homogénea y sigue siendo lineal.
«Dos funciones desconocidas convierten el problema en EDP»
Si ambas dependen de una sola variable independiente, forman un sistema de EDO.
«Toda ecuación que usa t es no autónoma»
y(t) usa t como argumento por definición. Solo importa si t aparece explícitamente en la ley.
13 · Práctica guiada
Ejercicios de clasificación
Ejercicio 1
Clasificá y″ − 5y′ + 6y = t² por tipo, orden, grado, linealidad, homogeneidad y autonomía.
Ver solución razonada
Es una EDO de segundo orden y grado uno. Es lineal no homogénea porque el término externo es t². Es no autónoma debido a la aparición explícita de t.
Ejercicio 2
Clasificá y′ = y² − 4.
Ver solución razonada
Es una EDO de primer orden, grado uno, no lineal por y² y autónoma porque el lado derecho depende solo del estado.
Ejercicio 3
Clasificá ∂²u/∂t² = c²(∂²u/∂x² + ∂²u/∂z²).
Ver solución razonada
Es una EDP porque u depende de varias variables independientes. Es de segundo orden, grado uno y lineal homogénea. La etiqueta autónoma se reserva habitualmente en este curso para EDO.
Ejercicio 4
Explicá por qué ety″ + t y′ − cos(t)y = 0 es lineal aunque contenga varias funciones no polinómicas.
Ver solución
Las funciones exponencial y coseno dependen solo de t y actúan como coeficientes conocidos. y, y′ e y″ aparecen a la primera potencia y no se multiplican entre sí.
Ejercicio 5
Determiná orden y grado de cos(y″) + y′ = 0.
Ver solución
El orden es dos porque aparece y″. El grado no está definido porque la derivada de mayor orden se encuentra dentro del coseno y la ecuación no es polinómica en las derivadas.
14 · Síntesis
Ideas para recordar
- Una EDO tiene una variable independiente; una EDP tiene varias.
- El orden lo determina la derivada de mayor orden.
- El grado es la potencia de esa derivada cuando la ecuación es polinómica en sus derivadas.
- En una ecuación lineal, la incógnita y sus derivadas aparecen a la primera potencia y no se multiplican.
- Una ecuación lineal es homogénea si no posee término externo.
- Una EDO autónoma no depende explícitamente de la variable independiente.
- Orden, grado, linealidad y autonomía son criterios diferentes.
- La clasificación debe acompañarse con una justificación estructural.
En el próximo tema aprenderemos a comprobar si una función propuesta satisface una ecuación diferencial, tanto de forma simbólica como numérica.