Comprobar una solución

01 · Punto de partida

Una fórmula candidata debe superar una prueba

Proponer una función con la forma esperada no demuestra que sea solución. Para afirmarlo debemos verificar que posee las derivadas requeridas y que, al sustituirla, convierte la ecuación en una igualdad verdadera en todo el intervalo considerado.

Por ejemplo, ante y′ = 2y podrían proponerse:

• y(t)=3e2t, que sí satisface la ecuación;
• y(t)=3et, que tiene aspecto exponencial pero no la satisface;
• y(t)=0, una solución que puede pasar inadvertida;
• y(t)=3e2t+1, que tampoco funciona aunque se parece mucho.

02 · Método general

Derivar, sustituir y comparar

Para comprobar una función candidata conviene seguir siempre la misma secuencia:

1. 1
   Identificar el intervalo.

   La función y las derivadas exigidas deben existir allí.

2. 2
   Calcular las derivadas necesarias.

   Llegar hasta el orden más alto presente en la ecuación.

3. 3
   Sustituir sin alterar la ecuación.

   Reemplazar la función y cada derivada por sus expresiones.

4. 4
   Simplificar ambos lados.

   Comprobar que coinciden para todo punto del intervalo.

5. 5
   Revisar condiciones adicionales.

   Evaluar condiciones iniciales o de frontera por separado.

03 · Ejemplo elemental

Comprobación de una ecuación de primer orden

Verifiquemos si y(t)=4e−3t es solución de y′+3y=0.

1. 1
   Derivamos.

   y′(t)=−12e−3t.

2. 2
   Sustituimos.

   y′+3y = −12e−3t + 3(4e−3t).

3. 3
   Simplificamos.

   −12e−3t+12e−3t=0.

La igualdad se cumple para todo número real t. Por lo tanto, la función es solución en cualquier intervalo real.

Una candidata que falla

Si usamos z(t)=4e−2t, entonces z′=−8e−2t y:

No es solución porque la diferencia no se anula en el intervalo.

04 · Derivadas sucesivas

Comprobación de una ecuación de segundo orden

Para comprobar y(t)=Acos(2t)+Bsin(2t) en y″+4y=0, necesitamos dos derivadas:

Entonces y″+4y=−4y+4y=0. La igualdad vale para cualesquiera constantes A y B, de modo que comprobamos una familia completa de soluciones.

05 · Problema completo

Ecuación y condiciones se verifican por separado

Consideremos el problema:

Toda función y(t)=Ce2t satisface la ecuación, porque y′=2Ce2t=2y. La condición inicial selecciona el valor de C:

Por lo tanto, y(t)=5e2t resuelve el problema completo. 3e2t resuelve la ecuación, pero no la condición.

06 · Dominio y regularidad

Una solución siempre está asociada a un intervalo

La fórmula puede satisfacer algebraicamente una ecuación y aun así no ser válida en todo el dominio que imaginamos. Debemos revisar dónde existen la función, sus derivadas y los coeficientes de la ecuación.

Ejemplo con una singularidad

La función y(t)=1/t cumple y′=−y² donde está definida:

Sin embargo, no es una solución en un intervalo que contenga t=0. Sí lo es en (−∞,0) o en (0,∞).

Ejemplo con valor absoluto

y(t)=|t| satisface (y′)²=1 para t≠0, pero no es derivable en cero. No puede considerarse solución clásica en un intervalo que atraviese ese punto.

07 · Medida del incumplimiento

El residuo convierte la verificación en una función

Si la ecuación se escribe como F(t,y,y′,…)=0 y proponemos una candidata φ(t), definimos su residuo:

La candidata es solución exacta si R(t)=0 en todo el intervalo. Por ejemplo, para y′−2y=0 y φ(t)=Aekt:

Si A≠0, el residuo se anula idénticamente solo cuando k=2. Esta forma deja visible exactamente qué condición debe cumplir el parámetro.

En métodos numéricos, un residuo pequeño puede indicar una buena aproximación, pero «pequeño» debe interpretarse según escalas, unidades, tolerancias y puntos evaluados.

08 · Dos tipos de evidencia

Comprobación simbólica y comprobación numérica

Una prueba numérica no demuestra que el residuo sea cero en infinitos puntos. Es útil para detectar fallas, validar implementaciones y evaluar aproximaciones.

09 · Derivada aproximada

Diferencias finitas para comprobar una candidata

La diferencia central aproxima la derivada mediante valores a ambos lados de t:

Para una función suficientemente suave, suele ser más precisa que la diferencia hacia adelante con el mismo paso. El residuo numérico para y′=f(t,y) puede estimarse como:

Elegir h exige equilibrio: un paso grande produce error de truncamiento; uno extremadamente pequeño amplifica el redondeo al restar números casi iguales.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: una igualdad puntual no es una identidad

La ecuación es y′=ry y la candidata es y=Aekt. Variá r y k. El panel superior muestra la candidata; el inferior, el residuo R(t)=(k−r)y(t).

La curva dorada es la función candidata. En el panel inferior, una línea coral separada de cero revela que la ecuación no se satisface.

Preguntas para explorar

1. Mantené k=r y cambiá A. ¿Qué ocurre con el residuo?
2. Separá levemente k de r. ¿El error permanece constante?
3. Elegí tasas negativas iguales. ¿La candidata decreciente sigue siendo solución?
4. ¿Por qué observar solo un residuo pequeño cerca de t=0 puede resultar engañoso?

11 · Representación en código

Comprobar cuando conocemos la derivada exacta

Si podemos programar tanto la candidata como su derivada analítica, calculamos el residuo directamente:

const candidata = t => 4 * Math.exp(-3 * t);
const derivadaCandidata = t => -12 * Math.exp(-3 * t);
const modelo = (t, y) => -3 * y;

function residuoExacto(t) {
  const y = candidata(t);
  return derivadaCandidata(t) - modelo(t, y);
}

for (const t of [0, 0.5, 1, 2]) {
  console.log(t, residuoExacto(t));
}

El resultado es cero salvo posibles efectos mínimos de punto flotante cuando dos expresiones equivalentes se evalúan por caminos diferentes.

Comprobar mediante una diferencia central

function derivadaCentral(funcion, t, h = 1e-5) {
  return (funcion(t + h) - funcion(t - h)) / (2 * h);
}

function medirResiduos(candidata, modelo, puntos, h = 1e-5) {
  return puntos.map(t => {
    const y = candidata(t);
    const aproximada = derivadaCentral(candidata, t, h);
    const exigida = modelo(t, y);

    return {
      t,
      aproximada,
      exigida,
      residuo: aproximada - exigida
    };
  });
}

const candidata = t => 4 * Math.exp(-3 * t);
const modelo = (t, y) => -3 * y;
const puntos = [0, 0.5, 1, 2];

const resultados = medirResiduos(candidata, modelo, puntos);

for (const resultado of resultados) {
  console.log(
    `t=${resultado.t} | aproximada=${resultado.aproximada.toFixed(6)}` +
    ` | exigida=${resultado.exigida.toFixed(6)}` +
    ` | residuo=${resultado.residuo.toExponential(3)}`
  );
}

Evaluar con tolerancia absoluta y relativa

function casiIguales(a, b, toleranciaAbsoluta = 1e-8,
                     toleranciaRelativa = 1e-6) {
  const escala = Math.max(Math.abs(a), Math.abs(b));
  const limite = toleranciaAbsoluta + toleranciaRelativa * escala;
  return Math.abs(a - b) <= limite;
}

console.log(casiIguales(1, 1 + 1e-10));       // true
console.log(casiIguales(1e8, 1e8 + 10));      // true
console.log(casiIguales(1, 1.01));             // false

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de verificación

Ejercicio 1: primer orden

Comprobá si y(t)=t²+2t+3 satisface y′=2t+2.

Ejercicio 2: segundo orden

Determiná si y(t)=et+e−t satisface y″−y=0.

Ejercicio 3: condición inicial

¿La función y(t)=7e−2t resuelve y′=−2y, y(0)=5?

Ejercicio 4: intervalo

Verificá y(t)=ln(t) para ty′=1 e indicá un intervalo real válido.

Ejercicio 5: residuo

Calculá el residuo de φ(t)=3e4t en la ecuación y′−5y=0.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos por qué una ecuación suele describir una familia de soluciones y cómo las condiciones seleccionan soluciones particulares.