Soluciones generales y particulares

01 · Punto de partida

Una ley de cambio no suele determinar una única trayectoria

La ecuación y′=2t indica la pendiente que debe tener una solución en cada instante, pero no dice a qué altura comienza. Todas las funciones

tienen derivada 2t, independientemente del valor de C. Por eso la ecuación describe una familia completa de parábolas desplazadas verticalmente.

La información adicional y(0)=3 fija C=3 y selecciona una curva:

02 · Información perdida

Por qué aparece una constante de integración

Derivar elimina las constantes aditivas:

Al recorrer el camino inverso mediante una integral no podemos recuperar la altura original. Debemos representar esa información desconocida con una constante:

C no es un adorno algebraico. Codifica el dato que la operación de derivar hizo desaparecer. Una condición permite reconstruirlo.

03 · Familia completa

Qué llamamos solución general

Una solución general representa una familia de funciones que satisfacen la ecuación e incluye tantas constantes independientes como normalmente exige su orden.

Decir «general» requiere cuidado: la familia debe cubrir las soluciones del tipo considerado en el intervalo relevante. En algunas ecuaciones, ciertos pasos algebraicos pueden perder soluciones especiales.

Constantes realmente independientes

La expresión y=(A+B)et parece contener dos constantes, pero solo depende de su suma. Si definimos C=A+B, queda y=Cet. Hay una sola constante independiente, como corresponde a una ecuación de primer orden.

04 · Un miembro de la familia

Qué llamamos solución particular

Una solución particular se obtiene al asignar valores concretos a las constantes de una solución general. No debe confundirse con la «solución particular» usada más adelante al resolver ecuaciones lineales no homogéneas; allí la expresión tiene un sentido técnico adicional.

Una función puede ser particular aunque no se haya dado una condición inicial. Basta con que sea un miembro concreto de la familia. Las condiciones explican cómo seleccionarla en un problema aplicado.

05 · Selección algebraica

Aplicar una condición inicial

Para y′=3y, la solución general es y(t)=Ce3t. Si se pide y(2)=10, sustituimos el punto:

1. 1
   Escribir la familia.

   y(t)=Ce3t.

2. 2
   Aplicar la condición.

   10=Ce6.

3. 3
   Despejar la constante.

   C=10e−6.

4. 4
   Reescribir y comprobar.

   y(t)=10e3(t−2); al evaluar en 2 se obtiene 10.

La forma desplazada 10e3(t−2) hace visible el dato inicial y suele ser más clara que 10e−6e3t.

06 · Grados de libertad

El orden anticipa cuántas condiciones necesitamos

Una EDO de orden n suele producir una solución general con n constantes independientes. Para determinarlas hacen falta, en general, n condiciones independientes.

Ejemplo de segundo orden

Para x″=−ω²x:

Las condiciones x(0)=x₀ y x′(0)=v₀ determinan:

La posición inicial no alcanza: dos objetos pueden comenzar en el mismo lugar con velocidades distintas.

07 · Datos en distintos puntos

Condiciones iniciales y condiciones de frontera

En un problema de valor inicial, todos los datos se especifican en el mismo valor de la variable independiente. En un problema de frontera, las condiciones pueden darse en puntos diferentes.

Ambos tipos de condiciones pueden seleccionar constantes, pero sus propiedades matemáticas y los algoritmos empleados no son necesariamente iguales.

08 · Formas de representación

Soluciones explícitas e implícitas

Una solución explícita despeja la función desconocida, como y(t)=t²+C. Una solución implícita expresa una relación que la función debe satisfacer:

Al derivar implícitamente respecto de x:

La relación describe circunferencias. Si despejamos, aparecen ramas y=±√(C−x²), cada una válida solo donde puede definirse como función derivable.

09 · Soluciones fuera de la familia general

Soluciones singulares

Una solución singular satisface la ecuación, pero no se obtiene asignando un valor finito a las constantes de la familia general encontrada. Puede aparecer como envolvente de esa familia.

Ejemplo de Clairaut

Consideremos:

Una familia de soluciones es:

Su envolvente se obtiene eliminando C entre la familia y ∂y/∂C=x+2C=0. Como C=−x/2:

Esta parábola también satisface la ecuación, pero ninguna constante fija C convierte una recta Cx+C² en ella. Es una solución singular.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: una condición selecciona una curva

La ecuación y′=2t genera la familia y=t²+C. Elegí un punto inicial (t₀,y₀); el laboratorio calcula C=y₀−t₀² y destaca la única parábola de la familia que pasa por ese punto.

Las curvas violetas representan otros valores de C; la curva dorada es la solución particular y el punto coral es la condición inicial.

Preguntas para explorar

1. Mantené t₀=0 y cambiá y₀. ¿Cómo se relacionan y₀ y C?
2. Cambiá t₀ sin cambiar y₀. ¿Por qué debe cambiar C?
3. Mové solo el instante observado. ¿Se modifica la solución seleccionada?
4. ¿Por qué ninguna pareja distinta de valores de C puede producir la misma curva?

11 · Representación en código

Representar una familia como fábrica de funciones

Una función de orden superior puede recibir la constante y devolver la solución particular correspondiente:

function crearSolucion(constante) {
  return function solucion(t) {
    return t ** 2 + constante;
  };
}

const solucionA = crearSolucion(3);
const solucionB = crearSolucion(-5);

console.log(solucionA(2)); // 7
console.log(solucionB(2)); // -1

Seleccionar la constante con una condición

function resolverConCondicion(tInicial, yInicial) {
  const constante = yInicial - tInicial ** 2;

  return {
    constante,
    evaluar(t) {
      return t ** 2 + constante;
    }
  };
}

const solucion = resolverConCondicion(1, 6);

console.log(solucion.constante);  // 5
console.log(solucion.evaluar(1)); // 6: cumple la condición
console.log(solucion.evaluar(3)); // 14

Comprobar ecuación y condición

function comprobar(tInicial, yInicial, tolerancia = 1e-10) {
  const constante = yInicial - tInicial ** 2;
  const candidata = t => t ** 2 + constante;
  const derivada = t => 2 * t;
  const puntos = [-2, -1, 0, 1, 2];

  const cumpleEcuacion = puntos.every(t =>
    Math.abs(derivada(t) - 2 * t) <= tolerancia
  );
  const cumpleCondicion =
    Math.abs(candidata(tInicial) - yInicial) <= tolerancia;

  return { constante, cumpleEcuacion, cumpleCondicion };
}

const resultado = comprobar(1, 6);
console.log(resultado.constante);       // 5
console.log(resultado.cumpleEcuacion);  // true
console.log(resultado.cumpleCondicion); // true

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: seleccionar una constante

La familia y=t³+C resuelve y′=3t². Encontrá la solución que cumple y(2)=10.

Ejercicio 2: condición fuera de cero

Para y′=−2y y y(3)=4, partí de y=Ce−2t y obtené una forma que haga visible la condición.

Ejercicio 3: dos constantes

La solución general de y″=0 es y=C₁t+C₂. Aplicá y(0)=3 e y′(0)=−2.

Ejercicio 4: independencia

¿Cuántas constantes independientes contiene y=(A−B)cos(t)+(2A−2B)sin(t)?

Ejercicio 5: solución singular

Explicá por qué y=−x²/4 no pertenece a la familia y=Cx+C² para ningún C constante.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos campos de pendientes: una forma de visualizar toda la familia de soluciones sin resolver primero la ecuación.