Campos de pendientes y curvas solución

01 · Punto de partida

La ecuación ya contiene un dibujo

Una ecuación diferencial de primer orden escrita como y′=f(t,y) asigna un número a cada punto (t,y) de una región del plano. Ese número es la pendiente que debería tener una solución si pasara por allí.

Por ejemplo, en y′=t−y, el punto (2,1) recibe la pendiente 2−1=1. En ese lugar una curva solución debe subir una unidad vertical por cada unidad horizontal, al menos localmente. En (2,3) la pendiente es −1 y la curva debe descender.

Si repetimos el cálculo sobre una cuadrícula y dibujamos un segmento corto en cada punto, obtenemos un campo de pendientes o campo de direcciones. Es una representación de la ecuación completa, no de una única solución.

02 · Construcción

Cómo se construye un campo de pendientes

Para visualizar y′=f(t,y) elegimos una ventana del plano y una malla de puntos. En cada nodo realizamos siempre el mismo procedimiento:

1. 1
   Elegir el punto.

   Tomamos un nodo (tᵢ,yⱼ) de la cuadrícula.

2. 2
   Evaluar la ley.

   Calculamos m=f(tᵢ,yⱼ).

3. 3
   Convertir el número en dirección.

   Usamos un vector proporcional a (1,m).

4. 4
   Normalizar y dibujar.

   Acortamos el vector para que todos los segmentos tengan longitud semejante y sea su inclinación —no su longitud— la que comunique el valor.

La normalización del vector (1,m) usa su longitud √(1+m²):

Así, una pendiente muy grande produce un segmento casi vertical sin salirse de la celda. Una pendiente infinita no puede representarse mediante y′=f(t,y) ordinaria y requiere tratar la singularidad o usar otra formulación.

03 · Lectura local

Signo, magnitud y cambio de la pendiente

Antes de intentar resolver una ecuación, el campo permite responder preguntas cualitativas. Cada segmento aporta dos datos inmediatos: hacia dónde se mueve la solución y con qué inclinación.

También importa cómo varía la inclinación a lo largo de una trayectoria. Si y′=f(t,y(t)) y f es derivable, la regla de la cadena da:

El signo de esta expresión describe la concavidad. Un campo de segmentos no dibuja directamente y″, pero el giro gradual de las direcciones permite inferirla.

04 · De lo local a lo global

Una curva solución es tangente al campo

Una función derivable y(t) es solución de y′=f(t,y) cuando en cada punto de su gráfica se cumple:

No alcanza con que la curva coincida con algunos segmentos: la condición debe cumplirse en todo su intervalo. Visualmente, la curva no atraviesa las direcciones como si fueran obstáculos; fluye alineada con ellas.

Dar y(t₀)=y₀ significa colocar una curva en el punto (t₀,y₀). La pendiente inicial queda determinada automáticamente: y′(t₀)=f(t₀,y₀). Desde allí se puede seguir el campo hacia la derecha y hacia la izquierda mientras la ecuación y la solución sigan definidas.

05 · Reconocer estructura

Patrones que revelan de qué depende la ecuación

La repetición de direcciones permite distinguir rápidamente varias formas de f.

Tres ejemplos para leer sin resolver

• En y′=2t, todas las curvas decrecen para t<0, son horizontales en t=0 y crecen para t>0. El campo anticipa parábolas con mínimo sobre el eje vertical.
• En y′=−y, las soluciones situadas sobre y=0 descienden y las situadas debajo ascienden. Todas son empujadas hacia el equilibrio.
• En y′=t−y, la pendiente es cero sobre la diagonal y=t; debajo de ella es positiva y encima es negativa.

06 · Organizar el campo

Isoclinas, nulclinas y equilibrios

Una isoclina es una curva del plano sobre la cual el campo tiene una pendiente constante c. Se obtiene resolviendo:

Para y′=t−y, las isoclinas son las rectas y=t−c. Sobre y=t−1, por ejemplo, todos los segmentos tienen pendiente 1. Dibujar algunas isoclinas ayuda a construir un campo a mano.

La isoclina correspondiente a c=0 recibe el nombre de nulclina. Allí los segmentos son horizontales. Sin embargo, una nulclina no es necesariamente una solución: la curva y=t de este ejemplo tiene pendiente geométrica 1, mientras el campo exige pendiente 0 sobre ella, por lo que las soluciones la cruzan horizontalmente.

07 · Comportamiento cualitativo

Campos autónomos y líneas de fase

Cuando y′=g(y), el signo de g divide el eje de estados en intervalos. Este análisis unidimensional se llama línea de fase y resume buena parte del campo.

Consideremos el modelo logístico y′=y(1−y/4):

Los niveles y=0 e y=4 son soluciones de equilibrio. El equilibrio 4 atrae estados cercanos y es estable; el equilibrio 0 los separa y, considerando estados negativos, es inestable. El campo permite descubrir este comportamiento sin calcular la solución explícita.

08 · Geometría y unicidad

¿Pueden cruzarse dos curvas solución?

Si dos soluciones de una misma ecuación pasan por (t₀,y₀), ambas reciben la misma pendiente f(t₀,y₀). Bajo condiciones que garantizan unicidad local —por ejemplo, si f y ∂f/∂y son continuas cerca del punto— las dos trayectorias deben ser la misma solución. Por eso, en un campo regular, curvas solución diferentes no se cruzan.

La continuidad de f por sí sola puede dar existencia sin asegurar unicidad. Un ejemplo clásico es:

Tanto y(t)=0 como y(t)=t³ satisfacen la ecuación y el dato inicial. También existen soluciones que permanecen un tiempo en cero y luego parten. El campo asigna la misma pendiente horizontal en el eje, pero no contiene por sí solo una garantía de trayectoria única.

09 · Qué permite concluir

Interpretar no es lo mismo que demostrar

Un campo de pendientes bien elegido puede sugerir crecimiento, máximos, mínimos, equilibrios, estabilidad, concavidad, explosión o aproximación a una asíntota. Es especialmente valioso cuando la ecuación no tiene una solución elemental.

Pero una figura siempre tiene resolución y ventana finitas. Un segmento casi horizontal no prueba que la pendiente sea cero; dos curvas visualmente próximas pueden separarse fuera de la ventana; una integración numérica puede ocultar una singularidad.

La práctica más sólida combina tres miradas: inspección geométrica, cálculo analítico y comprobación numérica.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: recorrer un campo de pendientes

Elegí una ecuación y un punto inicial. Los trazos violetas representan la ley local; la curva dorada es la trayectoria aproximada mediante Runge–Kutta de cuarto orden. El segmento coral muestra la pendiente exactamente en el punto inicial.

Todos los segmentos se calculan a partir de la ecuación seleccionada. La condición inicial elige una sola trayectoria sin modificar el campo.

Preguntas para explorar

1. En y′=0,5y, compará puntos iniciales positivos y negativos. ¿Qué ocurre en y₀=0?
2. En y′=t−y, ubicá el punto sobre la recta imaginaria y=t. ¿Cuál es la pendiente inicial?
3. En el modelo logístico, probá y₀=4, un valor entre 0 y 4 y otro mayor que 4. ¿Qué equilibrio atrae las trayectorias?
4. Cambiá solo el punto inicial. ¿Por qué los segmentos violetas permanecen iguales?

11 · Representación en código

Representar la ley y muestrear el campo

Conviene mantener la ecuación como una función pura que recibe el instante y el estado. Luego podemos evaluarla sobre cualquier malla:

const derivada = (t, y) => t - y;

function muestrearCampo(f, tiempos, estados) {
  const muestras = [];

  for (const t of tiempos) {
    for (const y of estados) {
      muestras.push({ t, y, pendiente: f(t, y) });
    }
  }
  return muestras;
}

const campo = muestrearCampo(derivada, [0, 1], [0, 1, 2]);
console.log(campo);

Normalizar un segmento

Esta función produce los extremos de un segmento centrado en (t,y). La normalización evita que las pendientes grandes generen trazos desproporcionados:

function segmentoDePendiente(t, y, pendiente, longitud = 0.4) {
  const norma = Math.hypot(1, pendiente);
  const dt = (longitud / 2) / norma;
  const dy = pendiente * dt;

  return {
    inicio: [t - dt, y - dy],
    fin: [t + dt, y + dy]
  };
}

console.log(segmentoDePendiente(2, 1, 1));

Seguir el campo con pequeños pasos

El método de Euler reemplaza durante un paso corto la curva por su recta tangente. Aún no es el método más preciso, pero muestra el vínculo directo entre campo y simulación:

function euler(f, tInicial, yInicial, paso, cantidad) {
  let t = tInicial;
  let y = yInicial;
  const puntos = [{ t, y }];

  for (let i = 0; i < cantidad; i++) {
    y = y + paso * f(t, y);
    t = t + paso;
    puntos.push({ t, y });
  }
  return puntos;
}

const f = (t, y) => t - y;
const trayectoria = euler(f, 0, 1, 0.25, 4);
console.log(trayectoria);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: calcular direcciones

Para y′=t+y, calculá las pendientes en (0,0), (1,0), (0,−2) y (2,−2).

Ejercicio 2: reconocer el patrón

Un campo repite exactamente sus pendientes a lo largo de cada fila horizontal. ¿Qué dependencia puede descartarse y qué forma tiene la ecuación?

Ejercicio 3: isoclinas

Encontrá las isoclinas de pendiente c para y′=2t−y y localizá la nulclina.

Ejercicio 4: equilibrio y estabilidad

Analizá el signo de y′=y(2−y) en los intervalos separados por sus equilibrios.

Ejercicio 5: distinguir nulclina y solución

En y′=t+y, la nulclina es y=−t. Explicá por qué esa recta no es una curva solución.

Ejercicio 6: un paso numérico

Usá Euler con h=0,1 para aproximar el primer paso de y′=t−y desde y(0)=1.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema formularemos con precisión un problema de valor inicial y estudiaremos cómo el dato y(t₀)=y₀ completa la ley diferencial para seleccionar una trayectoria.