Problemas de valor inicial

01 · Punto de partida

La ley de cambio necesita un estado inicial

La ecuación y′=2t determina cómo debe cambiar y, pero admite toda la familia y=t²+C. Para conocer una trayectoria concreta necesitamos un dato que fije la constante. Si sabemos que y(1)=4, entonces:

La ecuación diferencial junto con una condición dada en un instante forman un problema de valor inicial, abreviado PVI:

Resolver el PVI significa encontrar una función que satisfaga simultáneamente la ley de evolución y el estado inicial, al menos en algún intervalo que contenga a t₀.

02 · Especificación del problema

Anatomía de un problema de valor inicial

Cada parte del PVI cumple una función distinta y debe conservarse explícitamente tanto en el razonamiento matemático como en el programa.

El instante inicial no tiene por qué ser 0 ni tiene que coincidir con el extremo izquierdo de todos los análisis. Matemáticamente se puede continuar la solución hacia valores mayores o menores de t₀, siempre que exista y el modelo sea válido.

03 · Interpretación geométrica

Un punto selecciona una curva del campo

En el campo de pendientes de y′=f(t,y), la condición y(t₀)=y₀ marca el punto (t₀,y₀). Una solución del PVI debe pasar por ese punto y ser tangente al campo en cada instante.

La pendiente inicial no es un dato independiente en una ecuación explícita de primer orden: queda determinada por

Para y′=t−y con y(2)=5, la trayectoria comienza con pendiente 2−5=−3. El sistema está descendiendo en el instante inicial aunque todavía no conozcamos su fórmula.

04 · Resolución exacta

Un procedimiento que evita perder la condición

Cuando podemos obtener una familia de soluciones, conviene separar con claridad la resolución de la ecuación y la aplicación del dato inicial.

1. 1
   Resolver la ecuación diferencial.

   Obtener una familia con sus constantes independientes.

2. 2
   Aplicar la condición inicial.

   Sustituir t=t₀ y y=y₀ sin asumir que t₀=0.

3. 3
   Determinar las constantes.

   Resolver la ecuación algebraica producida por el dato.

4. 4
   Declarar el intervalo.

   Excluir singularidades y respetar el dominio del modelo.

5. 5
   Comprobar por separado.

   Verificar la identidad diferencial y luego evaluar la condición inicial.

Una forma de la respuesta centrada en t₀ suele reducir errores. Para y′=ky, y(t₀)=y₀, la solución

hace visible la condición porque al sustituir t=t₀ el exponente vale cero.

05 · Ejemplos resueltos

Dos problemas, dos maneras de fijar la trayectoria

Crecimiento proporcional desde un instante no nulo

Consideremos y′=0,4y con y(3)=10. La familia es y=Ce0,4t. Aplicar el dato da 10=Ce1,2, de modo que C=10e−1,2. La forma centrada es:

La derivada es 0,4y(t) y y(3)=10; ambas partes del PVI quedan verificadas.

Entrada constante y pérdida proporcional

Para y′=6−2y, y(1)=5, el equilibrio es y*=3. La familia puede escribirse y=3+Ce−2t. Como 5=3+Ce−2, obtenemos:

Esta forma muestra tres cosas: la solución parte de 5, el exceso inicial sobre el equilibrio es 2 y ese exceso decae exponencialmente.

06 · Roles diferentes

Parámetros del modelo y condiciones iniciales

Modificar un parámetro cambia la ley de evolución completa; modificar la condición inicial mantiene la ley y selecciona otra trayectoria dentro del mismo campo.

En una calibración, ambos pueden ser desconocidos, pero no representan lo mismo. Los parámetros describen el mecanismo; el estado inicial describe una realización particular del mecanismo.

07 · Estado suficiente

El orden determina cuántos datos iniciales hacen falta

Una ecuación escalar de primer orden suele requerir un valor y(t₀). Una de segundo orden necesita normalmente dos datos en el mismo instante, por ejemplo posición y velocidad:

La razón es informacional. Conocer la posición de un proyectil no basta para predecir su recorrido; también debemos conocer su velocidad. Para una ecuación de orden n, el estado suele reunir:

Los datos deben ser independientes y compatibles. Repetir dos veces y(t₀)=y₀ no aporta dos condiciones.

08 · Validación

Comprobar la ecuación no basta

La solución de un PVI debe superar dos pruebas distintas:

Para el PVI y′=−2y, y(0)=3, tanto 3e−2t como 7e−2t satisfacen la ecuación. Solo la primera satisface el problema completo.

En cálculo numérico, la segunda prueba debería cumplirse hasta error de representación: el primer punto almacenado debe ser exactamente el dato proporcionado, no un valor obtenido después de avanzar un paso.

09 · Dominio y alcance

La solución viene acompañada de un intervalo

Un PVI no pide únicamente una fórmula: pide una función definida en un intervalo que contenga a t₀. La ecuación puede dejar de estar definida o la solución puede crecer sin límite en tiempo finito.

Consideremos y′=y², y(0)=1. La solución es:

Satisface el PVI, pero no atraviesa t=1. El intervalo máximo que contiene al instante inicial es (−∞,1). Informar solo la expresión ocultaría una parte esencial de la respuesta.

En un modelo aplicado puede haber límites más estrictos: una población negativa carece de sentido, un depósito tiene capacidad finita o los parámetros dejan de ser válidos fuera de cierto régimen.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: un campo, diferentes condiciones iniciales

Elegí una ley y mové el punto inicial. El campo violeta permanece fijo para cada ecuación; las curvas tenues muestran otras condiciones y la curva dorada representa el PVI seleccionado. La trayectoria se aproxima con Runge–Kutta de cuarto orden.

La condición inicial modifica la trayectoria seleccionada, mientras la ley diferencial determina el campo compartido por todas las soluciones.

Preguntas para explorar

1. Conservá la ley y′=−0,7y y cambiá y₀. ¿Qué condición produce una solución constante?
2. Para y′=2−0,5y, probá valores iniciales por encima y por debajo de 4. ¿Hacia dónde se mueven?
3. Cambiá t₀ en la ecuación autónoma. ¿Cambia el campo? ¿Cómo se desplaza la trayectoria?
4. En y′=t−y, buscá un punto inicial con pendiente cero. ¿La solución permanece constante después?

11 · Representación en código

Representar un PVI como datos y comportamiento

Una estructura explícita evita mezclar la ley con la condición y permite validar la entrada antes de simular:

function crearPVI(derivada, tInicial, yInicial) {
  if (typeof derivada !== "function") {
    throw new TypeError("La derivada debe ser una función");
  }
  if (![tInicial, yInicial].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("La condición inicial debe ser finita");
  }

  return { derivada, tInicial, yInicial };
}

const problema = crearPVI((t, y) => -0.7 * y, 0, 3);
console.log(problema.derivada(problema.tInicial, problema.yInicial));

Integrar hacia adelante con Runge–Kutta

function pasoRK4(f, t, y, h) {
  const k1 = f(t, y);
  const k2 = f(t + h / 2, y + h * k1 / 2);
  const k3 = f(t + h / 2, y + h * k2 / 2);
  const k4 = f(t + h, y + h * k3);
  return y + h * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6;
}

function resolverPVI({ derivada, tInicial, yInicial }, h, pasos) {
  let t = tInicial;
  let y = yInicial;
  const trayectoria = [{ t, y }];

  for (let i = 0; i < pasos; i++) {
    y = pasoRK4(derivada, t, y, h);
    t += h;
    trayectoria.push({ t, y });
  }
  return trayectoria;
}

const pvi = { derivada: (t, y) => -0.7 * y, tInicial: 0, yInicial: 3 };
console.log(resolverPVI(pvi, 0.25, 4));

Validar contra una solución conocida

const exacta = t => 3 * Math.exp(-0.7 * t);
const derivadaExacta = t => -2.1 * Math.exp(-0.7 * t);
const ley = (t, y) => -0.7 * y;
const puntosDePrueba = [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1];
const tolerancia = 1e-12;

const cumpleEcuacion = puntosDePrueba.every(t =>
  Math.abs(derivadaExacta(t) - ley(t, exacta(t))) < tolerancia
);
const cumpleCondicion = Math.abs(exacta(0) - 3) < tolerancia;

console.log(cumpleEcuacion);
console.log(cumpleCondicion);
console.log(exacta(1));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: seleccionar la constante

Resolvé el PVI y′=3t², y(2)=11.

Ejercicio 2: forma centrada

Para y′=−4y, y(5)=7, escribí la solución de modo que la condición sea visible.

Ejercicio 3: pendiente inicial

Sin resolver, determiná si la solución de y′=t+y², y(−1)=2, comienza creciendo o decreciendo.

Ejercicio 4: detectar la candidata incorrecta

Para y′=2y, y(0)=4, compará 4e2t y 4et.

Ejercicio 5: intervalo máximo

La función y(t)=1/(2−t) resuelve un PVI con t₀=0. ¿Cuál es el intervalo máximo que contiene al instante inicial?

Ejercicio 6: estado de segundo orden

¿Por qué x(0)=1 no determina por sí sola el movimiento que satisface x″=−x?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

El siguiente tema responderá las preguntas que aquí dejamos abiertas: cuándo existe una solución, cuándo es única y hasta dónde puede prolongarse.