Existencia, unicidad e intervalo de solución

01 · Tres preguntas diferentes

Escribir un PVI no garantiza que esté bien determinado

Ante el problema

es natural comenzar a calcular. Sin embargo, antes conviene separar tres cuestiones lógicamente distintas:

Puede existir una solución sin ser única; puede ser única cerca del dato y dejar de existir en tiempo finito; o el lado derecho puede ni siquiera estar definido en el punto inicial.

02 · Existencia local

La continuidad de f asegura al menos una trayectoria

Una versión del teorema de existencia de Peano afirma que, si f(t,y) es continua en un rectángulo alrededor de (t₀,y₀), entonces el PVI posee al menos una solución en algún intervalo alrededor de t₀.

La conclusión es local: asegura un intervalo posiblemente pequeño. Tampoco afirma que la solución sea única ni proporciona necesariamente una fórmula.

Cuando el dato está fuera del dominio

El PVI y′=1/t, y(0)=2, no puede tener una solución clásica porque la ecuación exige evaluar 1/0. En cambio, si el dato se da en t₀=1, la función es continua cerca del punto y sí hay solución local.

03 · Unicidad local

Controlar cuánto cambia f respecto del estado

La continuidad de f no alcanza para garantizar una sola solución. Un criterio suficiente muy usado es que f sea localmente Lipschitz respecto de y: debe existir una constante L tal que, en una región cercana al dato,

Si f es continua y localmente Lipschitz en y, el teorema de Picard–Lindelöf garantiza una única solución local.

En la práctica, una condición suficiente fácil de verificar es que ∂f/∂y exista y sea continua cerca de (t₀,y₀). Si su valor absoluto está acotado por L en un rectángulo, el teorema del valor medio produce la desigualdad de Lipschitz.

04 · Aplicar el teorema

Revisar una región, no solo el punto inicial

Para aplicar Picard–Lindelöf a y′=f(t,y), y(t₀)=y₀, elegimos un rectángulo cerrado

contenido en el dominio de f. Luego seguimos una ruta ordenada:

1. 1
   Comprobar el dominio.

   El rectángulo no debe atravesar puntos donde f no está definida.

2. 2
   Comprobar continuidad.

   La continuidad de f aporta existencia local.

3. 3
   Controlar la dependencia en y.

   Buscar una cota de |∂f/∂y| o demostrar Lipschitz por otra vía.

4. 4
   Enunciar la conclusión correcta.

   Existe una única solución en algún intervalo alrededor de t₀.

Si M=maxR|f(t,y)|, una garantía elemental mantiene la solución dentro del rectángulo al menos para

Esta cota suele ser conservadora: asegura un intervalo, pero no afirma que sea el intervalo máximo.

05 · Caso regular

Una ecuación lineal pasa el criterio sin dificultad

Consideremos y′=t−2y, y(0)=3. Aquí:

Ambas funciones son continuas en todo ℝ² y |∂f/∂y|=2. Por lo tanto, existe una única solución local alrededor de 0. Como los coeficientes de la ecuación lineal son continuos para todo número real, esa solución puede prolongarse globalmente.

Resolviendo, obtenemos:

Su intervalo máximo es (−∞,∞). En este ejemplo, la conclusión global utiliza información adicional sobre la ecuación; no se deduce únicamente de un teorema local.

06 · Existir sin ser única

Una pendiente continua puede permitir varias salidas

El problema

tiene un lado derecho continuo, así que existe al menos una solución. Una de ellas es y(t)=0; otra es y(t)=t³. Ambas cumplen la ecuación y el dato.

Aún más: para cualquier a≥0, podemos construir una solución que espera hasta t=a y luego parte:

La derivada respecto de y, 2·sign(y)/|y|1/3 para y≠0, se vuelve no acotada cerca de cero. La condición de Lipschitz falla precisamente donde aparecen las múltiples trayectorias.

07 · Continuación

El intervalo máximo debe contener al dato inicial

Una solución local puede prolongarse mientras la trayectoria permanezca en el dominio de la ecuación y no se vuelva no acotada. La unión de todas sus prolongaciones compatibles forma un intervalo máximo de existencia.

Para y′=y², y(0)=1, la solución es

La función crece sin límite cuando t→1⁻. No existe un valor finito que permita atravesar ese punto como solución clásica. El intervalo máximo que contiene a cero es (−∞,1).

08 · Fronteras de la solución

Por qué puede terminar un intervalo máximo

Los extremos finitos de un intervalo máximo suelen revelar uno de estos mecanismos:

Una singularidad situada fuera de la componente del dominio que contiene al dato no afecta la solución local, pero puede fijar un extremo del intervalo máximo.

09 · Estabilidad del problema

Datos cercanos deberían producir soluciones cercanas

Un problema se considera bien planteado en el sentido de Hadamard cuando la solución existe, es única y depende continuamente de los datos. La tercera propiedad importa porque toda medición y todo número almacenado contienen error.

Si f es Lipschitz en y con constante L, dos soluciones y y z de la misma ecuación satisfacen, bajo hipótesis apropiadas, una cota de Grönwall:

La desigualdad no dice que la diferencia siempre crezca; proporciona un límite superior. Explica también por qué horizontes largos o valores grandes de L pueden amplificar errores iniciales.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: tres destinos para un PVI

Compará una ecuación regular con solución global, un problema que pierde unicidad en y₀=0 y una ecuación cuya solución puede explotar. El horizonte modifica la ventana de observación, no las propiedades matemáticas del PVI.

En el caso no único con y(0)=0 se muestran la solución constante y varias soluciones que esperan antes de separarse. En el caso explosivo se marca la asíntota vertical.

Preguntas para explorar

1. En el caso regular, cambiá y₀. ¿Se cruzan dos trayectorias distintas?
2. Elegí el caso no único con y₀=0. ¿Cuántas curvas parten del mismo punto?
3. En y′=y², aumentá y₀. ¿Cómo cambia el extremo derecho 1/y₀?
4. Reducí el horizonte para ocultar la explosión. ¿Desaparece la singularidad matemática o solo queda fuera de la ventana?

11 · Representación en código

Hacer explícito el dominio del modelo

La función que representa la ecuación debe rechazar estados donde la derivada no existe, en lugar de propagar silenciosamente NaN:

function derivadaSingular(t, y) {
  if (Math.abs(t - 2) < 1e-12) {
    throw new RangeError("La ecuación no está definida en t = 2");
  }
  return 1 / (t - 2);
}

console.log(derivadaSingular(0, 1)); // -0.5

Detener una integración antes de perder el control

function eulerConLimite(f, t0, y0, h, pasos, limite = 1e6) {
  let t = t0;
  let y = y0;
  const puntos = [{ t, y }];

  for (let i = 0; i < pasos; i++) {
    const siguiente = y + h * f(t, y);
    if (!Number.isFinite(siguiente) || Math.abs(siguiente) > limite) {
      return { puntos, estado: "posible explosión", detenidoEn: t + h };
    }
    t += h;
    y = siguiente;
    puntos.push({ t, y });
  }
  return { puntos, estado: "completo", detenidoEn: t };
}

const resultado = eulerConLimite((t, y) => y ** 2, 0, 1, 0.05, 40, 100);
console.log(resultado.estado);
console.log(resultado.detenidoEn);

Describir un intervalo máximo conocido

function solucionCuadratica(y0) {
  if (y0 === 0) {
    return { evaluar: t => 0, intervalo: "(−∞, ∞)" };
  }

  const singularidad = 1 / y0;
  const inferior = y0 < 0 ? singularidad : -Infinity;
  const superior = y0 > 0 ? singularidad : Infinity;

  return {
    evaluar(t) {
      const dentro = t > inferior && t < superior;
      if (!dentro) throw new RangeError("t fuera del intervalo máximo");
      return y0 / (1 - y0 * t);
    },
    intervalo: y0 > 0
      ? `(−∞, ${singularidad})`
      : `(${singularidad}, ∞)`
  };
}

const solucion = solucionCuadratica(1);
console.log(solucion.intervalo);
console.log(solucion.evaluar(0.5));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: aplicar el criterio

Analizá localmente y′=t+y³, y(0)=1.

Ejercicio 2: dato fuera del dominio

¿Tiene solución clásica y′=ln(y), y(0)=0?

Ejercicio 3: continuidad sin unicidad

Explicá por qué f(y)=3|y|2/3 pasa la prueba de existencia en cero pero no el criterio usual de unicidad.

Ejercicio 4: intervalo máximo

Para y′=y², y(0)=−2, hallá la solución y su intervalo máximo.

Ejercicio 5: componente conexa

La familia de y′=1/(t−2) es y=ln|t−2|+C. Si t₀=0, ¿qué intervalo puede contener la solución?

Ejercicio 6: interpretar una cota

Si dos soluciones parten con diferencia 0,01 y una cota de Grönwall usa L=2, ¿qué límite entrega para la diferencia tras una unidad?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

Con estos fundamentos ya podemos construir modelos con mayor seguridad. En el próximo tema recorreremos el proceso completo: traducir un fenómeno, declarar supuestos, controlar unidades y validar el modelo diferencial.