Del fenómeno al modelo diferencial

01 · Punto de partida

Un modelo es un mapa útil, no una copia del mundo

Modelar consiste en elegir qué aspectos de un fenómeno conservar, expresar cómo se relacionan y declarar en qué condiciones esperamos que esa representación sea útil. Una ecuación diferencial aparece cuando el mecanismo principal se describe mediante una razón de cambio.

Ante una bebida que se enfría, por ejemplo, podríamos registrar movimientos microscópicos de moléculas. Para predecir la temperatura media suele bastar un estado T(t) y la hipótesis de que la rapidez de intercambio es proporcional a la diferencia con el ambiente:

La ecuación no «estaba escondida» esperando ser descubierta. Surge de decisiones: temperatura uniforme, ambiente constante, coeficiente k fijo y ausencia de otras fuentes de calor.

02 · Ciclo de modelado

Del objetivo a una predicción contrastable

El modelado no es una cadena que termina al escribir una ecuación, sino un ciclo que vuelve a los supuestos cuando las predicciones no son adecuadas.

1. 1
   Formular la pregunta.

   Definir qué se quiere explicar, predecir o controlar y con qué precisión.

2. 2
   Delimitar el sistema.

   Elegir fronteras, escala temporal, variables y entradas externas.

3. 3
   Declarar supuestos.

   Simplificar de forma explícita y justificar qué efectos se ignoran.

4. 4
   Escribir balances o leyes.

   Traducir mecanismos a relaciones entre estado y cambio.

5. 5
   Determinar parámetros y condiciones.

   Usar mediciones, bibliografía o experimentos diseñados.

6. 6
   Resolver y validar.

   Comparar predicciones con datos y revisar el modelo cuando sea necesario.

03 · Frontera y memoria

Elegir el sistema y un estado suficiente

La frontera determina qué pertenece al sistema y qué actúa desde afuera. En un tanque, el líquido interior puede ser el sistema; los caudales de entrada y salida son intercambios con el entorno. En una población, inmigración y cosecha pueden tratarse como entradas externas.

El estado debe contener la información mínima necesaria para calcular el cambio futuro bajo los supuestos elegidos. Si dos situaciones con el mismo valor de y pueden evolucionar de manera distinta porque falta una variable relevante, y no es un estado suficiente.

También debe fijarse la escala: un estado continuo puede ser razonable para millones de individuos, pero no para contar una población de tres organismos.

04 · Simplificar con intención

Los supuestos son parte del modelo

Los supuestos convierten una situación abierta en un problema abordable. Deben escribirse porque determinan la forma de la ecuación y el dominio donde sus conclusiones son defendibles.

05 · Ley de acumulación

Acumulación = entradas − salidas + producción

Muchos modelos nacen de un balance. Si y(t) representa una cantidad almacenada, su derivada contabiliza todos los mecanismos que la aumentan y disminuyen:

Esta plantilla organiza tanques, poblaciones, inventarios, cargas eléctricas, energía y sustancias químicas. Cada término debe ser una tasa, no una cantidad acumulada.

Ejemplo: depósito con entrada y pérdida

Sea y(t) la cantidad de líquido en litros, una bomba que ingresa q litros por minuto y una pérdida proporcional ky. El balance es:

La entrada q aumenta el contenido; la salida ky lo reduce. El equilibrio satisface 0=q−ky*, por lo que y*=q/k cuando k>0.

06 · Análisis dimensional

Las unidades funcionan como un sistema de tipos

Todos los términos que se suman deben tener las mismas dimensiones. Si y se mide en litros y t en minutos, entonces y′ y cada término del lado derecho deben medirse en litros por minuto.

La ecuación y′=q−k sería sospechosa si k se declaró en 1/min: estaría restando una frecuencia a un caudal. El análisis dimensional detecta el error antes de resolver.

Los argumentos de exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas deben ser adimensionales. En e−kt, el producto kt no tiene unidad.

07 · Ejemplo de extremo a extremo

Construir un modelo de concentración en un tanque

Un tanque contiene un volumen constante V de solución bien mezclada. Entra líquido con caudal r y concentración cin; sale al mismo caudal. Sea A(t) la masa de soluto.

1. 1
   Estado.

   A(t), medido por ejemplo en gramos.

2. 2
   Entrada de soluto.

   r cin, con unidad volumen/tiempo por masa/volumen = masa/tiempo.

3. 3
   Concentración interior.

   Por mezcla uniforme, vale A/V.

4. 4
   Salida de soluto.

   r(A/V).

5. 5
   Balance y dato.

   A′=rcin−(r/V)A, acompañado por A(0)=A₀.

El equilibrio es A*=Vcin: a largo plazo, la concentración interior tiende a la concentración de entrada. Si los caudales no fueran iguales, el volumen dejaría de ser constante y necesitaríamos modelar también V(t).

08 · Datos del modelo

Separar parámetros, entradas y condiciones

Todos aparecen como números en una simulación, pero cumplen roles diferentes:

En y′=u(t)−ky, cambiar u modifica el forzamiento, cambiar k modifica la respuesta del sistema y cambiar y₀ elige otra trayectoria bajo la misma configuración.

También deben declararse restricciones: k≥0, estados no negativos, capacidad máxima y cualquier relación necesaria entre parámetros.

09 · Contraste con evidencia

Calibrar no es validar

Calibrar significa estimar parámetros para que el modelo se ajuste a ciertos datos. Validar significa evaluar si el modelo responde adecuadamente a la pregunta para la que fue construido, preferiblemente usando datos que no participaron del ajuste.

Un flujo de validación combina varias evidencias:

• Validación dimensional: todas las expresiones tienen unidades coherentes.
• Casos límite: el modelo responde sensatamente cuando un parámetro vale cero o se vuelve muy grande.
• Conservación y signos: no crea materia o estados negativos sin un mecanismo que lo explique.
• Residuos: los errores no muestran patrones sistemáticos que indiquen física omitida.
• Validación externa: predice observaciones que no se usaron para calibrarlo.
• Sensibilidad: pequeñas incertidumbres razonables no destruyen las conclusiones.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: entrada, pérdida y equilibrio

Explorá el balance y′=q−ky. La curva dorada parte de y₀; la línea coral marca el equilibrio q/k. Modificar q o k cambia el modelo, mientras modificar y₀ cambia solo la trayectoria.

El gráfico muestra la solución exacta durante diez minutos y, cuando existe, el nivel de equilibrio del modelo.

Preguntas para explorar

1. Elegí y₀=q/k. ¿Qué ocurre con la derivada y la trayectoria?
2. Aumentá q sin cambiar k. ¿Cómo cambia el equilibrio?
3. Aumentá k. ¿Qué ocurre con el equilibrio y con la escala temporal τ=1/k?
4. Fijá k=0. ¿Por qué desaparece el equilibrio finito y la curva se vuelve lineal?

11 · Representación en código

Codificar el modelo con metadatos y validación

El modelo puede reunir la ley, parámetros, unidades y restricciones sin acoplarse al algoritmo de integración:

function crearModeloDeposito({ entrada, perdida }) {
  if (entrada < 0 || perdida < 0) {
    throw new RangeError("Las tasas deben ser no negativas");
  }

  return {
    parametros: { entrada, perdida },
    unidades: { tiempo: "min", estado: "L" },
    derivada(t, cantidad) {
      if (cantidad < 0) throw new RangeError("Cantidad negativa");
      return entrada - perdida * cantidad;
    }
  };
}

const modelo = crearModeloDeposito({ entrada: 4, perdida: 0.4 });
console.log(modelo.derivada(0, 2)); // 3.2 L/min

Simular sin mezclar el integrador con el fenómeno

function simularEuler(f, t0, y0, paso, pasos) {
  let t = t0;
  let y = y0;
  const trayectoria = [{ t, y }];

  for (let i = 0; i < pasos; i++) {
    y += paso * f(t, y);
    t += paso;
    trayectoria.push({ t, y });
  }
  return trayectoria;
}

const derivada = (t, y) => 4 - 0.4 * y;
const puntos = simularEuler(derivada, 0, 2, 0.5, 10);
console.log(puntos.at(-1));

Medir el error frente a observaciones

function rmse(observados, predichos) {
  if (observados.length !== predichos.length || !observados.length) {
    throw new RangeError("Las series deben tener igual longitud no nula");
  }
  const mse = observados.reduce((suma, valor, i) =>
    suma + (valor - predichos[i]) ** 2, 0
  ) / observados.length;
  return Math.sqrt(mse);
}

const observados = [2, 4.7, 6.4, 7.5, 8.2];
const predichos = [2, 4.64, 6.41, 7.59, 8.38];

console.log(rmse(observados, predichos));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de modelado

Ejercicio 1: balance de una población

Una población recibe 20 individuos por mes, tiene nacimientos proporcionales 0,08P y muertes proporcionales 0,03P. Formulá la ecuación.

Ejercicio 2: detectar una inconsistencia dimensional

Para una posición x en metros y tiempo en segundos se propone x′=3x+5. ¿Qué unidades deben tener 3 y 5?

Ejercicio 3: revisar el estado

En un tanque entran y salen caudales diferentes. ¿Por qué modelar solo la masa de soluto puede ser insuficiente?

Ejercicio 4: equilibrio y significado

Para y′=q−ky, con q=6 L/min y k=0,3 min⁻¹, calculá e interpretá el equilibrio.

Ejercicio 5: parámetro o condición

En el enfriamiento T′=−k(T−Ta), clasificá k, Ta y T(0).

Ejercicio 6: diseñar una validación

Se calibró un modelo de enfriamiento con datos entre 0 y 10 minutos. Proponé una prueba más fuerte que volver a medir el error sobre esos mismos datos.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema comenzaremos a resolver sistemáticamente una clase fundamental de ecuaciones: aquellas cuyas variables pueden separarse.