Ecuaciones de variables separables

01 · Reconocer la estructura

Una multiplicación permite separar las variables

Una ecuación de primer orden es separable cuando puede escribirse como

El lado derecho queda factorizado en una función que depende solo de la variable independiente y otra que depende solo del estado. En las regiones donde h(y)≠0, podemos reorganizar:

Ahora cada miembro contiene una sola variable y puede integrarse. Por ejemplo, y′=2t(1+y) es separable porque g(t)=2t y h(y)=1+y. En cambio, y′=t+y no es un producto de una función de t por otra de y y no se separa directamente.

02 · Qué significa la manipulación

Los diferenciales son una notación útil, no fracciones ordinarias

La escritura dy/dt sugiere una fracción y conduce al procedimiento correcto, pero la justificación proviene de la regla de la cadena. Si elegimos una antiderivada H tal que

y una solución satisface y′=g(t)h(y), entonces

Integrar respecto de t produce H(y(t))=G(t)+C, donde G′=g. La notación separada resume exactamente este argumento.

03 · Algoritmo algebraico

Un procedimiento completo en seis pasos

1. 1
   Factorizar.

   Escribir la ecuación como y′=g(t)h(y).

2. 2
   Buscar equilibrios.

   Resolver h(y)=0 antes de dividir y comprobar esas soluciones constantes.

3. 3
   Separar.

   En una región donde h(y)≠0, escribir dy/h(y)=g(t)dt.

4. 4
   Integrar.

   Calcular una antiderivada en cada miembro y reunir las constantes en una sola C.

5. 5
   Aplicar condiciones.

   Determinar C o usar integrales definidas desde el dato inicial.

6. 6
   Despejar y validar.

   Si es posible, obtener y(t), declarar el intervalo y comprobar ecuación y datos.

Las constantes de ambos lados no necesitan conservarse por separado:

04 · Ejemplo básico

Separar, integrar y despejar

Resolvamos y′=2ty. Primero detectamos el equilibrio y=0. Para soluciones no nulas:

Integramos:

Al exponenciar, |y|=eCet². El signo constante y el factor positivo pueden absorberse en una nueva constante no nula A:

Al añadir la solución perdida y=0, podemos permitir A=0 y escribir la familia completa como y=Aet², con A∈ℝ.

La comprobación es inmediata: y′=2tAet²=2ty.

05 · Soluciones que se pueden perder

Dividir por h(y) exige revisar sus ceros

Para y′=2t(1+y), la función h(y)=1+y se anula en y=−1. Por lo tanto, y(t)=−1 es una solución constante.

Si dividimos por 1+y, esa trayectoria queda temporalmente excluida:

Las soluciones no constantes son y=Cet²−1 con C≠0. En este caso podemos recuperar el equilibrio permitiendo C=0, de modo que la familia unificada es:

06 · Logaritmos y signos

El valor absoluto contiene información

La antiderivada correcta de 1/y es ln|y| en cualquier intervalo que no cruce cero. Escribir directamente ln(y) restringiría sin justificación el análisis a soluciones positivas.

De ln|y|=F(t)+C se obtiene |y|=KeF(t) con K>0. Al incorporar el signo en una constante A=±K, queda y=AeF(t).

El valor absoluto no se elimina «porque sí»: se reemplaza por una descripción equivalente de las ramas.

07 · Incorporar el dato desde el comienzo

La forma definida evita una constante intermedia

Para el PVI y′=g(t)h(y), y(t₀)=y₀, si h no se anula en la rama considerada, podemos escribir:

Las letras u y s son variables mudas de integración. Esta forma ya incorpora el dato inicial y reduce errores al evaluar constantes.

Ejemplo

Para y′=2t(1+y), y(1)=3:

Como la rama inicial tiene 1+y>0, resulta 1+y=4et²−1 y

08 · Cuando despejar no conviene

Una relación implícita también es una solución

Consideremos y′=−t/y. La ecuación está definida solo cuando y≠0. Separando:

La familia implícita es

Geométricamente son circunferencias, pero una circunferencia completa no es la gráfica de una función y(t). Al despejar aparecen dos ramas:

Cada rama solo es solución donde C−t²>0 y mantiene su signo. En los extremos y=0, el lado derecho original −t/y no está definido.

09 · Dominio de la respuesta

La fórmula y el intervalo forman una unidad

El PVI y′=y², y(0)=y₀, es separable. Para y₀≠0:

Aplicando el dato:

Si y₀>0, la singularidad está en t=1/y₀ y el intervalo máximo que contiene a cero es (−∞,1/y₀). Si y₀<0, es (1/y₀,∞). Para y₀=0, la solución de equilibrio es global.

Multiplicar algebraicamente por 1−y₀t no autoriza a definir la función en el punto donde el denominador se anula. El intervalo debe revisarse después de despejar.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: separar y seleccionar una rama

Trabajá con y′=2t(1+y). El laboratorio calcula la constante C=(y₀+1)e−t₀² y dibuja la solución y=Cet²−1. La línea coral es el equilibrio que habría quedado excluido al dividir por 1+y.

La curva dorada representa la solución seleccionada; las curvas violetas pertenecen a la misma familia y la línea coral corresponde a y=−1.

Preguntas para explorar

1. Elegí y₀=−1. ¿Qué valor toma C y qué solución aparece?
2. Mantené t₀=0 y compará datos iniciales por encima y por debajo de −1. ¿Pueden cruzar el equilibrio?
3. Cambiá solo el instante observado. ¿Se modifica la constante seleccionada?
4. Usá un t₀ distinto de cero. ¿Por qué C ya no coincide con y₀+1?

11 · Representación en código

Codificar la solución seleccionada por un PVI

Para la ecuación del laboratorio, una función puede calcular la constante y devolver la solución particular:

function resolverSeparada(tInicial, yInicial) {
  const constante = (yInicial + 1) * Math.exp(-(tInicial ** 2));

  return {
    constante,
    evaluar(t) {
      return constante * Math.exp(t ** 2) - 1;
    }
  };
}

const solucion = resolverSeparada(0, 1);
console.log(solucion.constante);
console.log(solucion.evaluar(1));

Comprobar también la solución de equilibrio

const ley = (t, y) => 2 * t * (1 + y);
const equilibrio = t => -1;
const derivadaEquilibrio = t => 0;
const puntos = [-2, -1, 0, 1, 2];

const esSolucion = puntos.every(t =>
  derivadaEquilibrio(t) === ley(t, equilibrio(t))
);

console.log(esSolucion);

Integrar numéricamente el miembro temporal

Cuando la integral de g(t) no tiene una antiderivada elemental, aún puede aproximarse. Para y′=g(t)y, el PVI satisface y=y₀exp(∫g):

function integralPuntoMedio(g, a, b, pasos = 1000) {
  const h = (b - a) / pasos;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < pasos; i++) {
    suma += g(a + (i + 0.5) * h) * h;
  }
  return suma;
}

function resolverProducto(g, t0, y0, t) {
  return y0 * Math.exp(integralPuntoMedio(g, t0, t));
}

const g = t => Math.sin(t ** 2);
console.log(resolverProducto(g, 0, 2, 1));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de separación

Ejercicio 1: reconocer

Decidí cuáles son separables: y′=t²(1−y), y′=t+y y y′=(t+1)/y.

Ejercicio 2: familia completa

Resolvé y′=3ty e incluí cualquier solución perdida.

Ejercicio 3: aplicar un dato

Resolvé y′=(1+t)(1+y), y(0)=2.

Ejercicio 4: solución implícita

Resolvé y′=t/y² sin necesidad de despejar.

Ejercicio 5: intervalo máximo

Resolvé y′=−y², y(0)=2, e indicá su intervalo máximo.

Ejercicio 6: detectar la solución perdida

Al resolver y′=t(y−4) se divide por y−4. ¿Qué caso debe revisarse?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos esta técnica al modelo proporcional más importante: crecimiento y decaimiento exponencial.