Crecimiento y decaimiento exponencial

01 · Una ley fundamental

Cuanto hay determina cuánto cambia

El modelo exponencial parte de una hipótesis sencilla: la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad presente.

Si hay el doble de individuos, capital o núcleos radiactivos, hay el doble de oportunidades de reproducirse, generar interés o desintegrarse. La constante k transforma el estado en una tasa de cambio.

Cuando k=0, la derivada es cero y el estado permanece constante.

02 · Resolver el modelo

Separación de variables y condición inicial

Para soluciones no nulas separamos:

Integramos y exponenciamos:

El valor A=0 incorpora la solución de equilibrio que se excluyó al dividir por y. Si el dato es y(t₀)=y₀, entonces:

Esta forma funciona para y₀ positivo, negativo o nulo y hace visible la condición inicial. Además, está definida para todo t∈ℝ cuando k es constante.

Comprobación

03 · Tasa relativa

Qué representa realmente la constante k

Dividir la ecuación por y, cuando y≠0, muestra que

k es la tasa de cambio instantánea por unidad de cantidad: una tasa relativa continua. Si el tiempo se mide en días, su unidad es día⁻¹.

Una tasa continua k=0,05 no produce exactamente un aumento del 5 % al finalizar la unidad, sino del 100(e0,05−1)≈5,13 %. Para convertir un factor discreto 1+r en tasa continua equivalente se usa k=ln(1+r).

04 · Tiempos característicos

Duplicación, vida media y constante de tiempo

Las escalas temporales permiten comunicar la rapidez del proceso sin depender del valor inicial.

Después de una vida media queda 1/2 de la cantidad; después de n vidas medias queda (1/2)n. Tras una constante de tiempo en un decaimiento queda e−1≈36,8 %.

05 · Qué dato buscar

Problemas directos e inversos

Con y₀, k y un tiempo podemos predecir y(t). Pero muchas aplicaciones preguntan por una cantidad desconocida distinta.

Los argumentos del logaritmo deben ser adimensionales. Por eso aparece el cociente y₁/y₀, no el logaritmo de una cantidad con unidades.

06 · Aplicación biológica

Poblaciones con tasa per cápita constante

Si cada individuo contribuye, en promedio, con una tasa neta constante r=b−d —nacimientos menos muertes por individuo y unidad de tiempo—, entonces

Con r>0 hay crecimiento; con r<0, declive. El modelo es razonable durante etapas donde recursos, estructura etaria y ambiente no cambian demasiado.

Ejemplo

Una colonia comienza con 800 individuos y tiene r=0,12 año⁻¹. Después de 5 años:

El resultado continuo no tiene que ser entero porque representa una aproximación media. Si la población se acerca a límites de recursos, la tasa per cápita deja de ser constante y el modelo logístico del tema siguiente será más adecuado.

07 · Aplicación financiera

Interés compuesto en forma continua

Si un capital A(t) genera interés a una tasa continua anual r, el modelo es

Con capitalización n veces por año a tasa nominal r, la fórmula discreta es

Cuando n→∞, esta expresión converge a A₀ert. La tasa efectiva anual equivalente al régimen continuo es er−1.

Por ejemplo, una tasa continua del 8 % produce un factor anual e0,08≈1,0833, equivalente a un 8,33 % efectivo.

08 · Aplicación física

Decaimiento radiactivo y vida media

En una muestra grande, la probabilidad de desintegración por núcleo y unidad de tiempo se modela como constante. Si N(t) es la cantidad de núcleos no desintegrados:

La constante de decaimiento λ>0 y la vida media se relacionan mediante:

También puede escribirse directamente:

Si una sustancia tiene vida media de 6 horas, después de 18 horas —tres vidas medias— queda 1/8=12,5 % de la cantidad inicial.

09 · Aprender la tasa desde datos

El logaritmo transforma la exponencial en una recta

Si y(t)=Aekt y y>0, entonces

Un gráfico de ln y contra t debería ser aproximadamente lineal. La pendiente estima k y la ordenada al origen estima ln A.

Con dos observaciones positivas (t₁,y₁) y (t₂,y₂):

Con muchos datos conviene ajustar una recta o, mejor aún, elegir un modelo de error coherente. Ajustar logaritmos supone errores multiplicativos; minimizar errores en la escala original supone otra estructura del ruido.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: tasa, factor y tiempo característico

Modificá el valor inicial, la tasa continua y el tiempo observado. La curva dorada representa y(t)=y₀ekt; la recta violeta muestra qué predeciría una aproximación lineal inicial y≈y₀(1+kt).

La separación entre la curva exponencial y su tangente inicial muestra por qué una tasa relativa constante no produce crecimiento lineal.

Preguntas para explorar

1. Cambiá y₀ sin modificar k. ¿Cambian el factor acumulado y el tiempo de duplicación?
2. Compará k=0,2 y k=−0,2. ¿Qué simetría observás en los factores después del mismo tiempo?
3. Fijá k=0. ¿Qué ocurre con la curva y el tiempo característico?
4. Para tiempos pequeños, ¿por qué la recta tangente aproxima bien a la exponencial?

11 · Representación en código

Construir una solución exponencial reutilizable

function crearExponencial({ tInicial, yInicial, tasa }) {
  if (![tInicial, yInicial, tasa].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("Los datos deben ser finitos");
  }

  return {
    evaluar(t) {
      return yInicial * Math.exp(tasa * (t - tInicial));
    },
    derivada(t) {
      return tasa * this.evaluar(t);
    }
  };
}

const modelo = crearExponencial({ tInicial: 0, yInicial: 100, tasa: 0.2 });
console.log(modelo.evaluar(5));
console.log(modelo.derivada(5));

Calcular tiempos de umbral

function tiempoParaFactor(tasa, factor) {
  if (tasa === 0) return factor === 1 ? 0 : Infinity;
  if (!(factor > 0)) throw new RangeError("El factor debe ser positivo");
  const tiempo = Math.log(factor) / tasa;
  return tiempo >= 0 ? tiempo : null;
}

console.log(tiempoParaFactor(0.2, 2));
console.log(tiempoParaFactor(-0.2, 0.5));
console.log(tiempoParaFactor(-0.2, 2)); // no ocurre hacia adelante

Estimar la tasa con dos mediciones

function estimarTasa(t1, y1, t2, y2) {
  if (t1 === t2) throw new RangeError("Los tiempos deben ser distintos");
  if (!(y1 > 0 && y2 > 0)) {
    throw new RangeError("Las mediciones deben ser positivas");
  }
  return Math.log(y2 / y1) / (t2 - t1);
}

const k = estimarTasa(0, 80, 4, 160);
const duplicacion = Math.log(2) / k;

console.log(k);
console.log(duplicacion);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: predicción

Una población parte de 500 y crece con k=0,08 año⁻¹. Estimá su valor después de 6 años.

Ejercicio 2: duplicación

Calculá el tiempo de duplicación para k=0,14 día⁻¹.

Ejercicio 3: vida media

Una sustancia tiene vida media de 12 años. ¿Qué porcentaje queda después de 30 años?

Ejercicio 4: estimar k

Una cantidad pasa de 40 a 70 en 5 horas. Suponiendo crecimiento exponencial, estimá k.

Ejercicio 5: interés continuo

¿Cuál es el valor de 10 000 unidades monetarias después de 3 años al 6 % continuo?

Ejercicio 6: evaluar el modelo

Un cultivo sigue una exponencial durante las primeras horas, pero luego el gráfico de ln P contra t se curva hacia abajo. ¿Qué sugiere?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema incorporaremos una limitación de recursos y estudiaremos cómo el crecimiento exponencial se transforma en una curva logística.