Crecimiento logístico

01 · Más allá de la exponencial

La tasa per cápita no puede permanecer constante para siempre

El modelo exponencial P′=rP supone que cada individuo mantiene la misma contribución neta al crecimiento sin importar cuántos individuos haya. Es una aproximación útil cuando los recursos son abundantes, pero predice crecimiento ilimitado.

El modelo logístico reduce la tasa per cápita a medida que la población P se acerca a una capacidad de carga K:

El factor 1−P/K representa la fracción de capacidad aún disponible. Si P es pequeña respecto de K, el factor está cerca de uno y el crecimiento parece exponencial. Al acercarse a K, el factor tiende a cero.

02 · Anatomía del modelo

Tasa intrínseca, población y capacidad de carga

Al dividir por P para P>0, aparece la tasa per cápita:

Es una recta decreciente como función de P: vale aproximadamente r cerca de cero y se anula en K.

03 · Análisis cualitativo

Dos equilibrios organizan todas las trayectorias positivas

Los equilibrios satisfacen rP(1−P/K)=0:

En el dominio no negativo, P=0 es inestable: una población positiva pequeña se aleja de cero. P=K es estable y atrae poblaciones situadas a ambos lados.

04 · Separación y fracciones parciales

Resolver sin perder los equilibrios

Primero registramos las soluciones constantes P=0 y P=K. Para una solución que no pasa por esos valores:

Como P(1−P/K)=P(K−P)/K, usamos fracciones parciales:

Al integrar, el segundo término aporta un signo negativo por la derivada de K−P:

Después de exponenciar y absorber signo y magnitud en una constante:

Despejar P produce la forma logística.

05 · Solución del PVI

La fórmula logística y su constante

Para P(0)=P₀>0, la solución puede escribirse:

La constante A codifica la posición inicial respecto de la capacidad:

Para cualquier P₀>0, se cumple limt→∞P(t)=K. El modelo no exige que la población sea siempre menor que la capacidad: si comienza por encima, el crecimiento neto es negativo.

06 · Forma de la curva

La máxima rapidez ocurre a mitad de capacidad

La tasa absoluta de crecimiento como función de P es una parábola:

Se anula en 0 y K, y alcanza su máximo en P=K/2:

Para una trayectoria que comienza con 0<P₀<K/2, la curva tiene tres etapas:

1. 1
   Aceleración.

   Mientras P<K/2, la pendiente aumenta y la curva es cóncava hacia arriba.

2. 2
   Inflexión.

   En P=K/2, la pendiente vale rK/4 y cambia la concavidad.

3. 3
   Desaceleración.

   Para P>K/2, la población sigue creciendo, pero cada vez más lentamente.

El tiempo de inflexión, cuando 0<P₀<K/2, es

07 · Escalas universales

Normalizar revela una única curva esencial

Definamos la fracción de capacidad p=P/K y el tiempo adimensional τ=rt. Como P=Kp:

Los parámetros desaparecen de la ecuación. K fija la escala vertical y 1/r fija la escala temporal, pero la forma cualitativa es universal.

La normalización facilita comparar poblaciones con tamaños y unidades diferentes.

08 · Umbrales

El tiempo de duplicación ya no es constante

En el crecimiento exponencial, duplicar tarda siempre ln(2)/r. En la logística, la tasa relativa disminuye con P, por lo que cada duplicación tarda más y deja de ser posible cuando duplicar superaría el límite alcanzable desde abajo.

Despejando t en la solución, el tiempo para alcanzar un nivel P* con 0<P₀<P*<K es:

La capacidad se alcanza solo como límite: para P*=K, el denominador contiene K−P*=0 y el tiempo tiende a infinito.

Ejemplo

Con K=1000, r=0,5 y P₀=100, alcanzar 900 requiere:

09 · Estimación y límites

Una curva sigmoide no demuestra un mecanismo logístico

Con datos de toda la transición pueden estimarse r, K y P₀. Pero si solo se observa la fase inicial, muchas capacidades grandes producen curvas casi exponenciales y K queda débilmente identificado.

El modelo supone:

• capacidad de carga constante;
• respuesta inmediata a la densidad actual;
• población homogénea, sin estructura de edades o espacio;
• ambiente determinista y cerrado a migraciones no modeladas;
• relación lineal entre tasa per cápita y población.

Una saturación observada también puede provenir de agotamiento de sustrato, respuesta de sensores, aprendizaje, difusión de innovaciones u otros mecanismos. La forma sigmoide por sí sola no identifica la causa.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: construir una curva logística

Variá P₀, r y K. La línea coral marca la capacidad de carga y la violeta marca K/2, donde una trayectoria creciente cambia de concavidad y alcanza su máxima pendiente.

La curva dorada es la solución exacta. Las líneas horizontales muestran la capacidad de carga y la mitad de esa capacidad.

Preguntas para explorar

1. Aumentá r sin cambiar K. ¿Qué cambia y qué permanece igual?
2. Elegí P₀=K. ¿Qué ocurre con la derivada y la curva?
3. Elegí P₀>K. ¿Por qué la población disminuye sin oscilar alrededor de la capacidad?
4. Compará dos capacidades con la misma fracción inicial P₀/K. ¿Cómo se relacionan las curvas normalizadas?

11 · Representación en código

Encapsular el modelo y su solución exacta

function crearLogistica({ inicial, tasa, capacidad }) {
  if (!(inicial >= 0 && tasa > 0 && capacidad > 0)) {
    throw new RangeError("Se requiere P₀ ≥ 0, r > 0 y K > 0");
  }
  const A = inicial === 0 ? null : (capacidad - inicial) / inicial;

  return {
    derivada(poblacion) {
      return tasa * poblacion * (1 - poblacion / capacidad);
    },
    evaluar(t) {
      return inicial === 0
        ? 0
        : capacidad / (1 + A * Math.exp(-tasa * t));
    }
  };
}

const modelo = crearLogistica({ inicial: 10, tasa: 0.4, capacidad: 100 });
console.log(modelo.derivada(10));
console.log(modelo.evaluar(10));

Calcular el tiempo hasta un umbral

function tiempoHasta({ inicial, tasa, capacidad }, objetivo) {
  if (!(0 < inicial && inicial < objetivo && objetivo < capacidad)) {
    throw new RangeError("Se requiere 0 < P₀ < objetivo < K");
  }
  const cociente = objetivo * (capacidad - inicial)
    / (inicial * (capacidad - objetivo));
  return Math.log(cociente) / tasa;
}

const parametros = { inicial: 100, tasa: 0.5, capacidad: 1000 };
console.log(tiempoHasta(parametros, 900));

Comprobar propiedades cualitativas

const r = 0.4;
const K = 100;
const cambio = P => r * P * (1 - P / K);

const pruebas = {
  equilibrioCero: cambio(0) === 0,
  creceDebajo: cambio(25) > 0,
  maximoEnLaMitad: cambio(50) === r * K / 4,
  decreceEncima: cambio(125) < 0,
  equilibrioCapacidad: cambio(K) === 0
};

console.log(pruebas);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: signo y estabilidad

Para P′=0,3P(1−P/500), indicá los equilibrios y el sentido del movimiento en 0<P<500 y P>500.

Ejercicio 2: solución particular

Con K=1000, r=0,2 y P₀=100, escribí la solución.

Ejercicio 3: máximo crecimiento

Para r=0,6 mes⁻¹ y K=800, encontrá la población y la tasa absoluta de crecimiento máximas.

Ejercicio 4: inflexión

Calculá el tiempo de inflexión si P₀=20, K=180 y r=0,4.

Ejercicio 5: tiempo hasta un nivel

En el ejemplo K=1000, r=0,5, P₀=100, ¿cuánto tarda en alcanzar 500?

Ejercicio 6: revisar una interpretación

Un ajuste con datos iniciales estima K=109, muy por encima de toda observación. ¿Qué advertencia harías?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos otra ecuación de aproximación a un equilibrio: la ley de enfriamiento de Newton.