Ley de enfriamiento de Newton

01 · El mecanismo

El intercambio depende de la diferencia de temperaturas

Una bebida caliente se enfría rápidamente al comienzo y más lentamente cuando su temperatura se acerca a la del ambiente. La ley de enfriamiento de Newton idealiza este comportamiento suponiendo que la rapidez de cambio es proporcional a la diferencia térmica:

T(t) es la temperatura uniforme del cuerpo, Ta la temperatura ambiente constante y k el coeficiente efectivo de intercambio.

El signo menos hace que el cambio reduzca la diferencia:

02 · Del balance a la ecuación

Qué supuestos concentra el parámetro k

Un balance de energía simplificado puede escribirse:

Aquí m es la masa, c el calor específico, A el área efectiva y h un coeficiente de transferencia. Al dividir:

Por eso k aumenta con el intercambio y el área, y disminuye con la capacidad térmica mc. Su unidad es inverso de tiempo.

El modelo supone, entre otras cosas:

• temperatura aproximadamente uniforme dentro del cuerpo;
• ambiente constante y suficientemente grande;
• propiedades térmicas y coeficiente de intercambio constantes;
• ausencia de cambios de fase y fuentes internas relevantes;
• intercambio neto aproximadamente lineal en la diferencia térmica.

03 · Resolver mediante un cambio de variable

La diferencia térmica sigue un decaimiento exponencial

Definamos el exceso respecto del ambiente:

Como Ta es constante, u′=T′. La ecuación se transforma en:

Si T(t₀)=T₀, entonces u(t₀)=T₀−Ta y

La solución separa claramente el equilibrio Ta y una diferencia transitoria que desaparece exponencialmente.

Comprobación

04 · Lectura cualitativa

El ambiente es un equilibrio estable

La función f(T)=−k(T−Ta) se anula únicamente en T=Ta. Por encima del ambiente apunta hacia abajo; por debajo, hacia arriba. Todas las trayectorias se acercan al equilibrio sin cruzarlo.

La unicidad impide que una solución alcance y atraviese el equilibrio en tiempo finito. El signo de T−Ta se conserva.

05 · Rapidez del proceso

Semivida de la diferencia y constante de tiempo

La diferencia D(t)=T(t)−Ta satisface D=D₀e−kt. Por lo tanto:

Estas escalas no dependen de T₀ ni de Ta si k permanece fijo. Duplicar la diferencia inicial duplica la diferencia en todo instante, pero no modifica el tiempo relativo de relajación.

06 · Calibración con una medición

Estimar el coeficiente de intercambio

Si conocemos T₀, Ta y una medición T₁=T(t₁), dividimos las diferencias:

Siempre que ambas diferencias tengan el mismo signo y el cociente esté entre 0 y 1:

Ejemplo

Una bebida pasa de 90 °C a 60 °C en 10 minutos, en una habitación a 20 °C. El cociente de diferencias es (60−20)/(90−20)=4/7:

Con varias mediciones, ajustar todos los datos es más robusto que calcular k a partir de un solo par.

07 · Problema inverso

Calcular cuándo se alcanza una temperatura

Para buscar el tiempo t en que la temperatura vale T*, partimos de

y despejamos:

El cociente debe estar entre 0 y 1 para un tiempo futuro. Además, T* debe situarse entre T₀ y Ta. Pedir que una bebida inicialmente caliente alcance una temperatura inferior al ambiente no tiene solución dentro de este modelo.

El tiempo para llegar exactamente a Ta es infinito porque el logaritmo de cero no es finito. En aplicaciones se pregunta cuándo la diferencia cae por debajo de una tolerancia.

08 · Unidades y escalas

Diferencias en Celsius y Kelvin

La ecuación utiliza diferencias de temperatura. Un incremento de 1 °C tiene el mismo tamaño que uno de 1 K, por lo que

La fórmula produce la misma evolución numérica de la diferencia usando Celsius o Kelvin, siempre que todas las temperaturas se expresen consistentemente. Esto no autoriza a tratar cocientes de temperaturas absolutas en Celsius como magnitudes físicas equivalentes.

Las unidades temporales deben coincidir. Si k=0,05 min⁻¹, el tiempo debe introducirse en minutos. Convertir k a horas da 3 h⁻¹.

09 · Alcance del modelo

Cuándo la ley necesita ampliarse

La forma exponencial puede fallar si el ambiente cambia, la temperatura interna no es uniforme o intervienen radiación intensa, evaporación, cambios de fase o fuentes internas.

En estimaciones forenses o industriales, la incertidumbre en ambiente, ropa, geometría, ventilación y mediciones puede dominar el cálculo. El resultado debe acompañarse de supuestos e intervalos de incertidumbre.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: acercarse al equilibrio térmico

Modificá la temperatura inicial, el ambiente y el coeficiente k. La curva dorada representa el cuerpo y la línea coral el ambiente constante. El área violeta muestra la diferencia que decae.

La temperatura se muestra durante 30 minutos. El ambiente es un equilibrio que la solución aproxima sin atravesar.

Preguntas para explorar

1. Colocá T₀ por debajo de Ta. ¿Qué signos toman la diferencia y la derivada?
2. Elegí T₀=Ta. ¿Qué trayectoria aparece?
3. Duplicá k. ¿Qué ocurre con la semivida y el tiempo para quedar a 1 °C?
4. Mantené la misma diferencia inicial pero desplazá ambas temperaturas. ¿Cambian los tiempos característicos?

11 · Representación en código

Crear y evaluar un modelo térmico

function crearModeloTermico({ inicial, ambiente, k, tInicial = 0 }) {
  if (![inicial, ambiente, k, tInicial].every(Number.isFinite) || !(k > 0)) {
    throw new RangeError("Se requieren temperaturas finitas y k > 0");
  }
  return {
    evaluar(t) {
      return ambiente + (inicial - ambiente) * Math.exp(-k * (t - tInicial));
    },
    derivada(t) {
      return -k * (this.evaluar(t) - ambiente);
    }
  };
}

const bebida = crearModeloTermico({ inicial: 90, ambiente: 20, k: 0.1 });
console.log(bebida.evaluar(10));
console.log(bebida.derivada(0));

Estimar k con una observación

function estimarK({ inicial, ambiente, medida, tiempo }) {
  const diferenciaInicial = inicial - ambiente;
  const diferenciaMedida = medida - ambiente;
  const cociente = diferenciaMedida / diferenciaInicial;

  if (!(tiempo > 0 && cociente > 0 && cociente < 1)) {
    throw new RangeError("La medición no representa aproximación al ambiente");
  }
  return -Math.log(cociente) / tiempo;
}

const k = estimarK({ inicial: 90, ambiente: 20, medida: 60, tiempo: 10 });
console.log(k);

Calcular el tiempo hasta una tolerancia

function tiempoHastaTolerancia(inicial, ambiente, k, tolerancia) {
  if (!(k > 0 && tolerancia > 0)) {
    throw new RangeError("k y la tolerancia deben ser positivos");
  }
  const diferencia = Math.abs(inicial - ambiente);
  if (diferencia <= tolerancia) return 0;
  return Math.log(diferencia / tolerancia) / k;
}

console.log(tiempoHastaTolerancia(90, 20, 0.1, 1));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: construir la solución

Un objeto está a 80 °C en un ambiente de 20 °C y k=0,15 min⁻¹. Escribí T(t).

Ejercicio 2: predecir

Con los datos anteriores, calculá la temperatura después de 8 minutos.

Ejercicio 3: estimar k

Una muestra baja de 100 °C a 50 °C en 12 minutos, en un ambiente de 20 °C. Estimá k.

Ejercicio 4: tiempo objetivo

Para T(t)=20+60e−0,15t, ¿cuándo alcanza 30 °C?

Ejercicio 5: calentamiento

Un objeto a 5 °C se coloca en una habitación a 25 °C con k=0,2 min⁻¹. Indicá la solución y el signo inicial de la derivada.

Ejercicio 6: diagnosticar el modelo

El gráfico de ln|T−Ta| presenta curvatura marcada. Mencioná dos explicaciones posibles.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema generalizaremos esta estructura y aprenderemos a resolver ecuaciones lineales de primer orden mediante un factor integrante.