Ecuaciones lineales de primer orden

01 · Reconocer la forma

Lineal significa lineal en la función desconocida

Una ecuación diferencial lineal de primer orden puede escribirse en la forma estándar

La función desconocida y y su derivada aparecen a la primera potencia, no se multiplican entre sí ni están dentro de funciones no lineales. Los coeficientes p(t) y q(t) pueden variar con t.

02 · Normalizar primero

El coeficiente de y′ debe ser uno

Una ecuación puede presentarse como

En un intervalo donde a(t)≠0, dividimos por a(t):

Recién entonces identificamos p(t)=b/a y q(t)=c/a. Los ceros de a(t) dividen el dominio y no deben ignorarse.

Ejemplo

Para t y′+2y=t³, en un intervalo que no cruce cero:

El punto t=0 no pertenece a la forma estándar y puede separar intervalos de solución distintos.

03 · Respuesta propia

La ecuación homogénea asociada

Al eliminar el término independiente obtenemos

Es separable y su solución es

Esta familia describe cómo evoluciona una diferencia entre dos soluciones sometidas al mismo forzamiento. Si y₁ e y₂ satisfacen la ecuación completa, su diferencia d=y₁−y₂ cumple:

Por eso la parte homogénea representa memoria de la condición inicial. Cuando su magnitud decae, diferentes condiciones iniciales pierden influencia con el tiempo.

04 · La idea central

Fabricar una derivada mediante la regla del producto

Buscamos una función no nula μ(t) tal que, al multiplicar

el lado izquierdo sea la derivada de μy. Por la regla del producto:

Los términos coinciden si μ′=pμ. Una elección es:

Entonces la ecuación se convierte en:

Integrando y despejando:

05 · Método operativo

Resolver en siete pasos verificables

1. 1
   Elegir un intervalo.

   Evitar ceros del coeficiente principal y discontinuidades.

2. 2
   Normalizar.

   Escribir y′+p(t)y=q(t).

3. 3
   Calcular el factor.

   μ=e∫pdt; no hace falta agregar una constante en esta integral.

4. 4
   Multiplicar toda la ecuación.

   Obtener μy′+μpy=μq.

5. 5
   Reconocer el producto.

   Reemplazar el lado izquierdo por (μy)′.

6. 6
   Integrar y despejar.

   μy=∫μqdt+C.

7. 7
   Aplicar datos y comprobar.

   Verificar ecuación, condición e intervalo.

06 · Coeficientes constantes

Entrada constante y relajación hacia un equilibrio

Resolvamos y′+2y=6. Aquí p=2, q=6 y

Multiplicamos:

Integramos y despejamos:

La constante 3=q/p es una solución particular y el exponencial es la solución homogénea. Con y(0)=5, resulta C=2:

07 · Coeficientes variables

El intervalo condiciona el factor integrante

Consideremos

Elegimos el intervalo positivo para evitar la singularidad y simplificar |t|:

Multiplicando por t:

Por tanto:

La expresión también puede estudiarse en t<0, pero ninguna solución de esta forma atraviesa la singularidad de la ecuación normalizada en t=0.

08 · Fórmula del problema inicial

Usar integrales definidas incorpora el dato directamente

Sea μ(t)=e∫p(t)dt cualquier factor integrante no nulo. Integrando (μy)′=μq desde t₀ hasta t:

Luego:

La fórmula muestra dos contribuciones:

Esta forma es especialmente útil cuando la integral no puede expresarse mediante funciones elementales pero sí calcularse numéricamente.

09 · Homogénea y particular

Todas las soluciones comparten una misma estructura

Si yp es una solución particular de la ecuación completa y yh resuelve la homogénea asociada, entonces

es solución de la ecuación completa. Recíprocamente, la diferencia entre cualquier solución y yp es homogénea. Por eso la solución general tiene la forma:

Para entradas q₁ y q₂, la suma de respuestas particulares responde a q₁+q₂. Este principio de superposición permite descomponer forzamientos complejos.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: respuesta libre y respuesta forzada

Explorá y′+ay=b con a>0. La solución es y=b/a+(y₀−b/a)e−at. La línea coral muestra la solución particular constante; la distancia hasta ella es la respuesta homogénea.

La curva dorada es la solución total, la línea coral es la solución particular constante y el área violeta representa la respuesta homogénea.

Preguntas para explorar

1. Elegí y₀=b/a. ¿Qué ocurre con la parte homogénea?
2. Aumentá a manteniendo fijo b/a. ¿Cómo cambia la rapidez del transitorio?
3. Cambiá el signo de b. ¿Dónde queda la solución particular?
4. Mantené a y b, pero cambiá y₀. ¿Qué parte de la fórmula se modifica?

11 · Representación en código

Resolver el caso de coeficientes constantes

function resolverLinealConstante({ a, b, tInicial, yInicial }) {
  if (![a, b, tInicial, yInicial].every(Number.isFinite) || a === 0) {
    throw new RangeError("Los datos deben ser finitos y a distinto de cero");
  }
  const particular = b / a;

  return {
    particular,
    evaluar(t) {
      return particular
        + (yInicial - particular) * Math.exp(-a * (t - tInicial));
    }
  };
}

const solucion = resolverLinealConstante({ a: 0.5, b: 4, tInicial: 0, yInicial: 1 });
console.log(solucion.particular);
console.log(solucion.evaluar(5));

Aplicar la fórmula definida con cuadratura numérica

function integrarPuntoMedio(f, a, b, pasos = 2000) {
  const h = (b - a) / pasos;
  let suma = 0;
  for (let i = 0; i < pasos; i++) {
    suma += f(a + (i + 0.5) * h) * h;
  }
  return suma;
}

function evaluarLineal(p, q, t0, y0, t) {
  const integralP = x => integrarPuntoMedio(p, t0, x);
  const mu = x => Math.exp(integralP(x));
  const forzamiento = integrarPuntoMedio(s => mu(s) * q(s), t0, t);
  return (y0 + forzamiento) / mu(t); // μ(t₀)=1 con esta elección
}

const valor = evaluarLineal(t => 2, t => 6, 0, 5, 1);
console.log(valor);

Comprobar la identidad diferencial

const candidata = t => 3 + 2 * Math.exp(-2 * t);
const derivada = t => -4 * Math.exp(-2 * t);
const p = t => 2;
const q = t => 6;
const puntos = [0, 0.5, 1, 2];
const tolerancia = 1e-12;

const cumple = puntos.every(t =>
  Math.abs(derivada(t) + p(t) * candidata(t) - q(t)) < tolerancia
);

console.log(cumple);
console.log(candidata(0) === 5);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de resolución

Ejercicio 1: llevar a forma estándar

Normalizá 2ty′+4y=t² e identificá p y q para t>0.

Ejercicio 2: factor integrante

Encontrá un factor integrante para y′+3ty=t².

Ejercicio 3: coeficientes constantes

Resolvé y′+4y=8, y(0)=5.

Ejercicio 4: coeficiente variable

Resolvé y′+(2/t)y=t en t>0.

Ejercicio 5: estructura

Si y₁ e y₂ resuelven y′+p(t)y=q(t), demostrá qué ecuación satisface y₁−y₂.

Ejercicio 6: interpretar

En y′+ay=b con a>0, ¿qué ocurre a largo plazo y qué papel cumple y₀?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos las ecuaciones de Bernoulli, una familia no lineal que puede transformarse en una ecuación lineal.