Ecuaciones de Bernoulli

01 · Reconocer la familia

Una no linealidad con estructura aprovechable

Una ecuación de Bernoulli tiene la forma

donde n es constante. Si n≠0 y n≠1, la potencia hace que la ecuación no sea lineal en y, pero una sustitución específica la convierte en una ecuación lineal.

02 · Los exponentes excepcionales

n=0 y n=1 ya son casos lineales

La sustitución de Bernoulli está diseñada para n≠0,1. Los exponentes excluidos no son problemas: producen ecuaciones lineales directamente.

También hay que considerar q(t)=0: la ecuación es homogénea lineal sin importar el valor escrito de n.

03 · Derivar la sustitución

Por qué v=y^(1−n) elimina la potencia

En una región donde las potencias involucradas están definidas y y≠0, dividimos la ecuación por yn:

Definimos

Por la regla de la cadena:

Multiplicando la ecuación dividida por 1−n y sustituyendo:

Esta ecuación es lineal en v. Después de resolverla, debemos reconstruir y mediante

04 · Método operativo

Resolver sin perder información

1. 1
   Normalizar e identificar.

   Escribir y′+p(t)y=q(t)yⁿ y registrar n.

2. 2
   Revisar soluciones especiales.

   Comprobar y=0 y cualquier restricción de las potencias antes de dividir.

3. 3
   Transformar.

   Usar v=y1−n y v′=(1−n)y−ny′.

4. 4
   Resolver la lineal.

   Aplicar factor integrante a v′+(1−n)pv=(1−n)q.

5. 5
   Volver a y.

   Invertir la potencia, seleccionar ramas y aplicar la condición inicial.

6. 6
   Declarar el intervalo.

   Excluir ceros de denominadores, radicandos inválidos y puntos donde la transformación falla.

7. 7
   Comprobar en la ecuación original.

   No validar únicamente la ecuación transformada.

05 · Ejemplo completo

Una ecuación cuadrática que se vuelve lineal

Consideremos

Es Bernoulli con p=1, q=1 y n=2. Antes de dividir observamos que y=0 es solución. Para y≠0, usamos v=y−1=1/y. La ecuación transformada es:

Un factor integrante es e−t:

Integrando:

Volvemos a la variable original:

Además de esta familia, debemos conservar y=0. El valor C=0 produce el otro equilibrio y=1.

06 · Condición inicial y dinámica

El dato inicial determina decaimiento o explosión

Para y(0)=y₀≠0,

Para y₀>1, el tiempo de explosión se obtiene de 1+Cet=0:

La ecuación transformada v=1/y atraviesa cero sin dificultad, pero ese cero corresponde a |y|→∞. Invertir la transformación revela el límite real de la solución original.

07 · Coeficientes variables

Bernoulli conduce al método lineal completo

Resolvamos, para t>0,

Con n=2 y v=1/y:

El factor integrante lineal es μ=e∫−1/t dt=1/t. Entonces:

Integramos y reconstruimos:

También y=0 satisface la ecuación original y no aparece al usar v=1/y. Cada solución no nula debe restringirse a un intervalo positivo que no contenga ceros del denominador.

08 · Ramas y dominios

Invertir una potencia puede introducir decisiones

La reconstrucción y=v1/(1−n) no siempre define una única función real para cualquier valor de v.

Ejemplo con n=1/2

Si v=√y, entonces reconstruir da y=v², pero la sustitución original exige v≥0. Una solución lineal para v que se vuelve negativa ya no representa esa rama de √y.

09 · Una conexión importante

La ecuación logística también es Bernoulli

El modelo logístico puede reorganizarse:

Es una ecuación de Bernoulli con n=2, p=−r y q=−r/K. La sustitución v=1/P produce:

Esta ecuación lineal tiene equilibrio v=1/K. Al invertir, recuperamos la solución logística. La conexión explica por qué una ecuación poblacional no lineal puede resolverse con herramientas lineales.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: la transformación anticipa el destino

Explorá y′+y=y² con distintos valores positivos de y₀. El panel muestra simultáneamente y(t) y la variable lineal v(t)=1/y(t)=1+Cet. Cuando v llega a cero, y explota.

La curva dorada representa y(t), la violeta representa v(t)=1/y(t), y una línea coral marca el equilibrio y=1.

Preguntas para explorar

1. Elegí y₀=1. ¿Qué valores toman C, v e y?
2. Probá y₀>1. ¿Cómo se relaciona el cruce de v=0 con la asíntota de y?
3. Acercá y₀ a 1 desde arriba. ¿Qué ocurre con el tiempo de explosión?
4. Para 0<y₀<1, ¿por qué v crece mientras y decrece?

11 · Representación en código

Resolver el PVI y declarar su intervalo

function resolverBernoulli(yInicial) {
  if (!(yInicial > 0)) throw new RangeError("Este ejemplo requiere y₀ > 0");
  const constante = (1 - yInicial) / yInicial;
  const explosion = yInicial > 1
    ? Math.log(yInicial / (yInicial - 1))
    : Infinity;

  return {
    constante,
    explosion,
    evaluar(t) {
      if (t >= explosion) throw new RangeError("t fuera del intervalo máximo");
      return 1 / (1 + constante * Math.exp(t));
    }
  };
}

const solucion = resolverBernoulli(0.5);
console.log(solucion.constante);
console.log(solucion.evaluar(1));

Comprobar la transformación lineal

const yInicial = 0.5;
const C = (1 - yInicial) / yInicial;
const v = t => 1 + C * Math.exp(t);
const derivadaV = t => C * Math.exp(t);
const puntos = [0, 0.5, 1, 2];

const cumpleLineal = puntos.every(t =>
  Math.abs(derivadaV(t) - v(t) + 1) < 1e-12
);

console.log(cumpleLineal);
console.log(v(0) === 1 / yInicial);

Transformar metadatos de una Bernoulli

function transformarBernoulli(p, q, n) {
  if (n === 0 || n === 1) {
    throw new RangeError("n=0 y n=1 ya son ecuaciones lineales");
  }
  return {
    coeficienteLineal(t) {
      return (1 - n) * p(t);
    },
    terminoIndependiente(t) {
      return (1 - n) * q(t);
    },
    reconstruir(v) {
      return v ** (1 / (1 - n));
    }
  };
}

const transformada = transformarBernoulli(t => 1, t => 1, 2);
console.log(transformada.coeficienteLineal(0));
console.log(transformada.terminoIndependiente(0));
console.log(transformada.reconstruir(2));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de transformación

Ejercicio 1: reconocer

Identificá p(t), q(t) y n en y′−2ty=t³y⁴.

Ejercicio 2: obtener la lineal

Transformá y′+3y=6y².

Ejercicio 3: resolver

Resolvé y′+2y=2y² para soluciones no nulas.

Ejercicio 4: condición inicial

Para y′+y=y², y(0)=1/3, encontrá la solución.

Ejercicio 5: explosión

Con la misma ecuación y y(0)=2, calculá el extremo derecho del intervalo máximo.

Ejercicio 6: recuperar una solución

¿Qué solución se pierde al transformar la logística con v=1/P?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos ecuaciones exactas, donde la clave será reconocer una diferencial total y reconstruir una función potencial.