Ecuaciones exactas

01 · Una forma diferente de mirar la EDO

La ecuación puede ser la diferencial de una función

Una ecuación de primer orden puede escribirse como

Es exacta si existe una función potencial F(x,y) cuya diferencial total coincide con el miembro izquierdo:

Por tanto, necesitamos Fx=M y Fy=N. Si la diferencial de F se anula a lo largo de una trayectoria, F permanece constante:

La solución aparece naturalmente en forma implícita como una familia de curvas de nivel.

02 · Regla de la cadena

Por qué F(x,y)=C describe soluciones

Si una curva se escribe como y=y(x), entonces la regla de la cadena da:

La ecuación diferencial dividida por dx es

Cuando Fx=M y Fy=N, ambas expresiones coinciden:

Así, F es constante a lo largo de cada curva solución. Cuando N≠0, también podemos despejar la pendiente:

La forma diferencial sigue teniendo sentido geométrico incluso donde la tangente es vertical y no conviene describir la curva como y(x).

03 · Prueba de exactitud

Las derivadas cruzadas deben coincidir

Si M=Fx y N=Fy, y F tiene segundas derivadas continuas, entonces

Por eso My=Nx es una condición necesaria local. En una región abierta y simplemente conexa, con derivadas continuas, también es suficiente.

04 · Reconstrucción sistemática

Integrar una componente y completar la otra

Para resolver Mdx+Ndy=0:

1. 1
   Declarar el dominio.

   Identificar denominadores, logaritmos, raíces y posibles agujeros.

2. 2
   Comprobar exactitud.

   Calcular My y Nx.

3. 3
   Integrar M respecto de x.

   F(x,y)=∫M(x,y)dx+g(y).

4. 4
   Derivar respecto de y.

   Calcular Fy y compararlo con N.

5. 5
   Determinar g.

   Resolver g′(y)=N−∂y∫Mdx.

6. 6
   Escribir la familia.

   F(x,y)=C.

7. 7
   Aplicar datos y comprobar.

   Evaluar C y verificar Fx=M, Fy=N.

05 · Ejemplo completo

Reconstruir un potencial cuadrático

Consideremos

Identificamos M=2x+y y N=x+2y. Las derivadas cruzadas son:

La ecuación es exacta en todo ℝ². Integramos M respecto de x manteniendo y constante:

Derivamos respecto de y y comparamos:

Así, g′(y)=2y y podemos elegir g(y)=y². La solución general es:

Las curvas de nivel para C>0 son elipses rotadas.

06 · Seleccionar una curva de nivel

La condición inicial determina C

Para la ecuación anterior, si y(1)=2, el punto (1,2) debe pertenecer a la curva:

La solución implícita del PVI es:

Si despejamos y, obtenemos dos ramas:

La condición y(1)=2 selecciona el signo positivo cerca de x=1. La rama solo puede describirse como función mientras N=x+2y≠0; cuando N=0, la curva tiene tangente vertical.

07 · Camino alternativo

También se puede comenzar integrando N

Para el mismo ejemplo:

Ahora derivamos respecto de x:

Entonces h′(x)=2x y h=x². Llegamos al mismo potencial, salvo una constante aditiva irrelevante.

Conviene integrar primero la componente más sencilla. El resultado debe ser compatible con ambas derivadas parciales; esa doble comprobación detecta signos o términos omitidos.

Un término no puede desaparecer

Si al comparar Fy con N aparece una expresión que todavía depende de x donde debería estar g′(y), algo salió mal o la ecuación no era exacta.

08 · Cuando falla el criterio

Un factor integrante puede crear exactitud

La forma

puede no ser exacta, pero volverse exacta al multiplicarla por una función no nula μ(x,y). Encontrar un factor general puede ser difícil; hay dos pruebas especiales útiles.

Ejemplo breve

Para y dx+x²dy=0, M=y, N=x², de modo que My=1 y Nx=2x: no es exacta. Sin embargo,

depende solo de x. En un intervalo que no cruce cero:

Al multiplicar, la forma se vuelve exacta y un potencial es F(x,y)=ye−1/x. Por tanto, la familia queda ye−1/x=C.

09 · Geometría y topología

Gradiente perpendicular y dominios con agujeros

El vector ∇F=(M,N) es perpendicular a las curvas F=C. Un vector tangente es (N,−M), porque

Su pendiente es −M/N, exactamente la exigida por la ecuación.

La igualdad de derivadas cruzadas es local. En el plano sin el origen, la forma

tiene derivadas cruzadas iguales, pero su potencial sería el ángulo polar, que no puede definirse como una función real continua y monovaluada en todo el dominio perforado. Al recorrer una vuelta alrededor del origen, el ángulo cambia en 2π.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: potencial, gradiente y tangente

Elegí un punto para la ecuación exacta (2x+y)dx+(x+2y)dy=0. La curva dorada es el nivel F=x²+xy+y²=C; el vector coral es el gradiente y el violeta es una dirección tangente.

Las curvas tenues son otros niveles del mismo potencial. En el origen, gradiente y dirección tangente se anulan.

Preguntas para explorar

1. Mové el punto y comprobá visualmente que gradiente y tangente permanecen perpendiculares.
2. Buscá un punto donde N=0. ¿Qué tipo de tangente tiene la curva?
3. Elegí el origen. ¿Por qué el nivel C=0 deja de ser una elipse?
4. Cambiá solo la escala. ¿Se modifica la constante o únicamente la visualización?

11 · Representación en código

Comprobar exactitud mediante derivadas conocidas

const derivadaMy = (x, y) => 1;
const derivadaNx = (x, y) => 1;

function comprobarExactitud(my, nx, puntos, tolerancia = 1e-12) {
  return puntos.every(([x, y]) =>
    Math.abs(my(x, y) - nx(x, y)) <= tolerancia
  );
}

const puntos = [[0, 0], [1, 2], [-2, 3]];
console.log(comprobarExactitud(derivadaMy, derivadaNx, puntos));

Representar el potencial y sus derivadas

const potencial = (x, y) => x ** 2 + x * y + y ** 2;
const M = (x, y) => 2 * x + y;
const N = (x, y) => x + 2 * y;

function datosGeometricos(x, y) {
  const gradiente = [M(x, y), N(x, y)];
  const tangente = [N(x, y), -M(x, y)];
  const productoPunto = gradiente[0] * tangente[0]
    + gradiente[1] * tangente[1];
  return { nivel: potencial(x, y), gradiente, tangente, productoPunto };
}

console.log(datosGeometricos(1, 2));

Parametrizar una curva de nivel

function puntoDelNivel(constante, angulo) {
  if (constante < 0) throw new RangeError("Este potencial exige C ≥ 0");
  const u = Math.sqrt(constante / 1.5) * Math.cos(angulo);
  const v = Math.sqrt(constante / 0.5) * Math.sin(angulo);
  return {
    x: (u + v) / Math.sqrt(2),
    y: (u - v) / Math.sqrt(2)
  };
}

const punto = puntoDelNivel(7, Math.PI / 3);
const residuo = punto.x ** 2 + punto.x * punto.y + punto.y ** 2 - 7;

console.log(punto);
console.log(Math.abs(residuo) < 1e-12);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de exactitud

Ejercicio 1: comprobar

Determiná si (3x²+2y)dx+(2x+4y³)dy=0 es exacta.

Ejercicio 2: reconstruir el potencial

Resolvé la ecuación del ejercicio anterior.

Ejercicio 3: aplicar un punto

Para (2x+y)dx+(x+2y)dy=0, encontrá la curva que pasa por (2,−1).

Ejercicio 4: detectar que no es exacta

Analizá (y+2x)dx+x²dy=0.

Ejercicio 5: pendiente implícita

Para F=x²+xy+y², obtené y′ y verificá que coincide con −M/N.

Ejercicio 6: dominio perforado

¿Por qué la igualdad de derivadas cruzadas fuera del origen no basta para que el diferencial angular tenga potencial global?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos ecuaciones lineales de primer orden a balances de mezcla y circuitos eléctricos RC.