Modelos lineales de flujo y circuitos

01 · Un patrón compartido

Entrada, almacenamiento y salida proporcional

Un tanque que mezcla una sustancia y un circuito que carga un capacitor parecen sistemas diferentes. Sin embargo, ambos almacenan una cantidad, reciben una entrada y pierden o compensan una parte proporcional al estado actual.

Después de elegir las variables y agrupar parámetros, los dos pueden escribirse como

x(t) es el estado almacenado, u(t) el valor impuesto desde afuera y τ>0 la constante de tiempo. Para una entrada constante u*:

02 · Mezcla en un tanque

Modelar la cantidad de soluto, no solo su concentración

Un tanque contiene un volumen constante V de líquido bien mezclado. Entra solución a caudal q y concentración cin(t); sale al mismo caudal. Sea A(t) la cantidad de soluto.

La entrada es q cin. Por mezcla uniforme, la concentración interior es A/V, igual a la concentración de salida. Por tanto:

En forma lineal:

Elegir A evita confundir cantidad con concentración. Las unidades confirman cada término:

03 · Estado normalizado

La concentración obedece una relajación de primer orden

Como el volumen es constante, C=A/V y C′=A′/V. Al dividir el balance por V:

Definiendo

obtenemos la forma normalizada

τ tiene unidades de tiempo y coincide con el tiempo necesario para hacer circular un volumen equivalente al del tanque. No significa que todo el líquido original haya salido exactamente después de τ; con mezcla perfecta queda una fracción e−1 de la diferencia inicial.

04 · Entrada constante

El tanque se aproxima a la concentración de entrada

Si cin es constante y C(0)=C₀, la solución es

La concentración de entrada es el equilibrio. Si el tanque comienza más concentrado, se diluye; si comienza menos concentrado, se enriquece.

Ejemplo

Un tanque de 500 L recibe y descarga 25 L/min. Entra solución con 3 g/L y el tanque comienza con 1 g/L. Entonces τ=500/25=20 min:

Después de 20 minutos, C(20)=3−2/e≈2,264 g/L. La diferencia inicial de 2 g/L se redujo al 36,8 %.

05 · Cuando los caudales no coinciden

El volumen se convierte en otra variable del modelo

Si entran qin y salen qout,

Mientras el tanque no se vacíe ni desborde:

El balance de soluto es

Sigue siendo lineal en A si V(t) es conocido, pero ahora tiene un coeficiente variable. El intervalo físico termina cuando se alcanza volumen cero o la capacidad máxima del tanque.

06 · Circuito RC

La ley de Kirchhoff produce la misma estructura

Consideremos una resistencia R y un capacitor C en serie, alimentados por una tensión Vin(t). Sea VC(t) la tensión del capacitor.

Por la ley de tensiones de Kirchhoff:

Como VR=RI e I=C V′C:

La constante de tiempo es

En unidades SI, ohmios por faradios equivalen a segundos. El capacitor almacena carga y la resistencia limita la velocidad con que su tensión puede cambiar.

07 · Carga y descarga

Respuesta del capacitor a una tensión constante

Si en t=0 se aplica una tensión constante Vs y VC(0)=V₀:

Para un capacitor inicialmente descargado:

La corriente es

La tensión del capacitor es continua; la corriente puede cambiar instantáneamente en el modelo ideal cuando cambia la fuente. Al desconectar la fuente y descargar a través de R, se toma Vs=0.

08 · Correspondencia entre dominios

Una misma ecuación, significados diferentes

La analogía es matemática, no una identidad física. Ayuda a transferir intuiciones: un volumen mayor o una capacitancia mayor aumentan la memoria; un caudal mayor reduce τ, mientras una resistencia mayor la aumenta.

09 · Forzamiento general

El sistema pondera la historia de la entrada

Para

el factor integrante es et/τ y la solución queda

El primer término es la memoria inicial. La integral suma las entradas pasadas con un peso exponencial: las recientes influyen más y las antiguas se olvidan con escala τ.

Esta operación es una convolución. En señales, el sistema funciona como un filtro pasa-bajos: suaviza cambios rápidos de la entrada. En el tanque, mezcla variaciones de concentración; en el circuito, atenúa componentes eléctricas rápidas.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: una respuesta, dos interpretaciones

Alterná entre tanque y circuito. Los controles representan la entrada constante, la constante de tiempo y el estado inicial. La matemática es idéntica; cambian nombres y unidades.

La curva dorada muestra el estado; la línea coral, la entrada o equilibrio. El eje temporal se expresa en múltiplos de τ.

Preguntas para explorar

1. Cambiá de sistema sin modificar los números. ¿Qué propiedades de la curva permanecen?
2. Duplicá τ. ¿Cambia el valor alcanzado después de una constante de tiempo?
3. Elegí un estado inicial mayor que la entrada. ¿Qué signos toman la derivada y la evolución?
4. Fijá estado inicial igual a entrada. ¿Qué ocurre con el flujo neto o la corriente?

11 · Representación en código

Crear un modelo de primer orden independiente del dominio

function crearPrimerOrden({ inicial, entrada, tau }) {
  if (![inicial, entrada, tau].every(Number.isFinite) || !(tau > 0)) {
    throw new RangeError("Los datos deben ser finitos y τ > 0");
  }
  return {
    derivada(estado) {
      return (entrada - estado) / tau;
    },
    evaluar(t) {
      return entrada + (inicial - entrada) * Math.exp(-t / tau);
    }
  };
}

const tanque = crearPrimerOrden({ inicial: 1, entrada: 3, tau: 20 });
console.log(tanque.derivada(1));
console.log(tanque.evaluar(20));

Construir parámetros desde cada sistema físico

function parametrosTanque(volumen, caudal) {
  if (!(volumen > 0 && caudal > 0)) throw new RangeError("V y q deben ser positivos");
  return { tau: volumen / caudal, unidadTiempo: "min" };
}

function parametrosRC(resistencia, capacitancia) {
  if (!(resistencia > 0 && capacitancia > 0)) {
    throw new RangeError("R y C deben ser positivos");
  }
  return { tau: resistencia * capacitancia, unidadTiempo: "s" };
}

console.log(parametrosTanque(500, 25));
console.log(parametrosRC(10_000, 100e-6));

Procesar una entrada variable con Euler

function simularEntrada(entrada, inicial, tau, paso, pasos) {
  let t = 0;
  let x = inicial;
  const salida = [{ t, entrada: entrada(t), estado: x }];

  for (let i = 0; i < pasos; i++) {
    x += paso * (entrada(t) - x) / tau;
    t += paso;
    salida.push({ t, entrada: entrada(t), estado: x });
  }
  return salida;
}

const escalon = t => t < 2 ? 0 : 5;
const respuesta = simularEntrada(escalon, 0, 1, 0.1, 50);
console.log(respuesta.at(-1));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1: balance de soluto

Un tanque de 200 L recibe 10 L/min con 4 g/L y descarga el mismo caudal. Si A(t) es la masa en gramos, formulá el PVI para A(0)=100.

Ejercicio 2: concentración

Para el tanque anterior, encontrá la concentración de equilibrio y la constante de tiempo.

Ejercicio 3: circuito RC

Un circuito tiene R=2 kΩ, C=500 μF y una fuente de 12 V. Calculá τ y VC(τ) si comienza descargado.

Ejercicio 4: descarga

Un capacitor comienza en 9 V y se descarga con τ=2 s. ¿Cuándo baja a 1 V?

Ejercicio 5: volumen variable

Entran 6 L/min y salen 4 L/min de un tanque que comienza con 100 L. ¿Cuál es V(t) y cuándo llega a 150 L?

Ejercicio 6: comparar respuestas

Dos sistemas tienen la misma entrada e inicial, pero τ₁=2τ₂. Compará sus estados después de sus respectivas constantes de tiempo.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema iniciaremos el estudio de ecuaciones de segundo orden, donde el estado necesita posición y velocidad.