Ecuaciones diferenciales de segundo orden

01 · Una derivada más

El cambio también puede tener una razón de cambio

Una ecuación diferencial es de segundo orden cuando la derivada de mayor orden que aparece es y″. En una evolución temporal, y′ describe la rapidez de cambio del estado y y″ describe cómo cambia esa rapidez.

En mecánica, si x(t) es posición:

02 · Forma normal

La aceleración puede depender del tiempo, la posición y la velocidad

Una forma explícita general es

Esta notación dice que la segunda derivada queda determinada por el instante y por el estado dinámico actual. Algunos patrones importantes son:

Una ecuación implícita, por ejemplo G(t,y,y′,y″)=0, solo puede llevarse a forma normal donde sea posible despejar y″.

03 · Memoria suficiente

El estado ya no es un solo número

Dos objetos pueden encontrarse en la misma posición y evolucionar de manera diferente si tienen velocidades distintas. Para una ecuación escalar de segundo orden, el estado natural es el par

La posición informa dónde está el sistema; la velocidad, hacia dónde y con qué rapidez se mueve. La aceleración se calcula a partir de ambas y de la ley:

04 · Dos integraciones

La solución general contiene dos constantes

La ecuación más simple, y″=0, se integra dos veces:

C₁ representa la velocidad constante y C₂ la posición en t=0. Cada integración recupera información que la derivación eliminó.

En general, una ecuación de segundo orden tiene una familia con dos constantes independientes y necesita dos condiciones independientes para seleccionar una trayectoria.

05 · Primer modelo resuelto

Movimiento con aceleración constante

Sea x″=a, donde a es constante. Integrando:

Con x(0)=x₀ y v(0)=v₀:

La velocidad es lineal y la posición parabólica. Si a tiene signo opuesto a v₀, la velocidad puede anularse en t*=−v₀/a; allí la posición tiene un máximo o mínimo local.

Ejemplo gravitatorio

Tomando hacia arriba como positivo, la caída libre ideal usa a=−g. El signo no pertenece a g>0, sino a la orientación elegida.

06 · De fuerzas a ecuaciones

La segunda ley de Newton genera modelos de segundo orden

En una dimensión:

Distintas fuerzas producen distintas estructuras:

Cada término debe tener unidades de fuerza. Por ejemplo, kx exige k en N/m y cx′ exige c en N·s/m.

07 · Clasificar antes de resolver

Linealidad, homogeneidad y autonomía

Una ecuación lineal de segundo orden tiene la forma

en un intervalo donde a₂(t)≠0. Es homogénea si g(t)=0 y no homogénea si existe un forzamiento.

El orden es dos incluso si y o y′ no aparecen explícitamente. La clasificación orienta qué métodos serán aplicables.

08 · Reducción de orden

Una ecuación de segundo orden equivale a dos de primero

Definimos

Entonces y₁′=y₂ y, si y″=F(t,y,y′),

En forma vectorial:

Esta representación es la que esperan la mayoría de los integradores numéricos. También hace explícito que el dato inicial es un vector Y(t₀)=(y₀,v₀).

09 · Trayectorias y comprobaciones

Existencia, espacio de estados y cantidades conservadas

Si F(t,y,v) es continua y localmente Lipschitz respecto de (y,v), el PVI de segundo orden tiene una solución local única. La condición se aplica al sistema equivalente.

Una solución ya no es solo una curva y(t): también traza una trayectoria (y(t),v(t)) en el plano de estados. Dos trayectorias únicas no pueden cruzarse en el mismo punto de estado al mismo tiempo para una ecuación autónoma regular.

Algunos modelos ofrecen comprobaciones adicionales. Para mx″+kx=0, multiplicar por x′ muestra que

permanece constante. Una deriva sistemática de energía en una simulación puede revelar error numérico, aunque su análisis detallado se realizará más adelante.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: posición y velocidad bajo aceleración constante

Modificá x₀, v₀ y a. El panel superior muestra la posición parabólica y el inferior la velocidad lineal. La línea vertical señala un posible instante de giro dentro de la ventana.

Ambos gráficos comparten el tiempo, pero usan escalas verticales independientes porque posición y velocidad tienen unidades diferentes.

Preguntas para explorar

1. Mantené a y v₀, pero cambiá x₀. ¿Qué gráfico se desplaza verticalmente?
2. Fijá a=0. ¿Qué formas toman posición y velocidad?
3. Elegí v₀ y a con signos opuestos. ¿Cuándo aparece un giro futuro?
4. Duplicá |a| conservando v₀. ¿Cómo cambia el tiempo de giro?

11 · Representación en código

Representar posición y velocidad como estado

function movimientoConstante({ posicion, velocidad, aceleracion }) {
  return {
    estado(t) {
      return {
        posicion: posicion + velocidad * t + 0.5 * aceleracion * t ** 2,
        velocidad: velocidad + aceleracion * t
      };
    },
    derivada({ posicion, velocidad }) {
      return { posicion: velocidad, velocidad: aceleracion };
    }
  };
}

const movimiento = movimientoConstante({ posicion: 0, velocidad: 8, aceleracion: -2 });
console.log(movimiento.estado(5));

Convertir una ecuación general en un sistema

function crearSistemaSegundoOrden(aceleracion) {
  return function sistema(t, estado) {
    const [posicion, velocidad] = estado;
    return [
      velocidad,
      aceleracion(t, posicion, velocidad)
    ];
  };
}

// Oscilador amortiguado: x″ = -4x - 0.5x′
const sistema = crearSistemaSegundoOrden(
  (t, posicion, velocidad) => -4 * posicion - 0.5 * velocidad
);

console.log(sistema(0, [2, -1]));

Dar un paso RK4 para un estado vectorial

const sumar = (a, b, factor = 1) =>
  a.map((valor, i) => valor + factor * b[i]);

function pasoRK4(sistema, t, estado, h) {
  const k1 = sistema(t, estado);
  const k2 = sistema(t + h / 2, sumar(estado, k1, h / 2));
  const k3 = sistema(t + h / 2, sumar(estado, k2, h / 2));
  const k4 = sistema(t + h, sumar(estado, k3, h));
  return estado.map((valor, i) =>
    valor + h * (k1[i] + 2 * k2[i] + 2 * k3[i] + k4[i]) / 6
  );
}

const caida = (t, [x, v]) => [v, -9.8];
console.log(pasoRK4(caida, 0, [0, 10], 0.1));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: identificar el orden

Clasificá y″+t y′+sin(t)y=0.

Ejercicio 2: integrar dos veces

Resolvé y″=6t.

Ejercicio 3: aplicar condiciones

Para y″=−4, y(0)=3, y′(0)=6, encontrá y(t).

Ejercicio 4: instante de giro

En el ejercicio anterior, calculá cuándo se anula la velocidad y la posición correspondiente.

Ejercicio 5: construir el sistema

Convertí y″+3y′+2y=cos(t) en un sistema de primer orden.

Ejercicio 6: unidades

En mx″+cx′+kx=F(t), indicá las unidades de c y k.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema profundizaremos en los problemas de valor inicial de segundo orden y en el papel independiente de posición y velocidad iniciales.