Problemas de valor inicial de segundo orden

01 · Punto de partida

Una posición no determina por sí sola el movimiento

Una ecuación de segundo orden describe cómo cambia la velocidad. Para identificar una trayectoria concreta necesitamos conocer, en un mismo instante, tanto el valor de la función como el de su primera derivada:

La ecuación y esos dos datos forman un problema de valor inicial de segundo orden. Si y representa una posición, y₀ indica dónde se encuentra el objeto y v₀ indica hacia dónde se mueve y con qué rapidez.

Por ejemplo, todas las funciones y=C₁t+C₂ satisfacen y″=0. La condición y(0)=2 solo fija C₂=2; todavía quedan infinitas rectas con pendientes diferentes. Agregar y′(0)=3 fija C₁=3 y selecciona y=3t+2.

02 · Especificación completa

Anatomía del PVI de segundo orden

Los dos valores deben asociarse al mismo t₀. No son dos observaciones arbitrarias: juntos forman el estado mínimo necesario para continuar la evolución sin ambigüedad.

03 · Interpretación geométrica

Un punto y una tangente seleccionan la curva

En el plano (t,y), la condición y(t₀)=y₀ obliga a la solución a pasar por (t₀,y₀). La condición y′(t₀)=v₀ fija además la recta tangente en ese punto:

Esta recta es la aproximación local de primer orden. La ecuación determina cómo empieza a curvarse la gráfica, porque la concavidad inicial es

Dos soluciones pueden pasar por el mismo punto con pendientes diferentes. En cambio, bajo hipótesis de unicidad, no pueden compartir simultáneamente el mismo valor y la misma derivada en el mismo instante y luego separarse.

04 · Lectura física

Posición, velocidad y aceleración cumplen roles distintos

Consideremos el modelo mecánico mx″=F(t,x,x′). El estado inicial (x₀,v₀) describe la situación presente; la fuerza describe la regla que produce la aceleración futura.

Un objeto lanzado hacia arriba y otro que cae pueden estar a la misma altura, pero sus velocidades tienen signos opuestos. La altura sola no distingue esas historias ni permite predecir el instante siguiente.

05 · Resolución exacta

Dos condiciones determinan dos constantes

Resolvamos y″+y=0 con y(0)=2 y y′(0)=−1. La familia general es

Derivamos antes de aplicar la segunda condición:

Evaluar ambas expresiones en cero produce C₁=2 y C₂=−1. Por lo tanto,

La comprobación tiene tres partes: y″+y=0, y(0)=2 y y′(0)=−1. Verificar solo la ecuación demostraría que pertenece a la familia, pero no que resuelve este PVI.

1. 1
   Obtener la familia general.

   Debe contener dos constantes independientes.

2. 2
   Calcular la primera derivada.

   La segunda condición se aplica a y′, no nuevamente a y.

3. 3
   Evaluar en el mismo instante.

   Se forma un sistema algebraico para las constantes.

4. 4
   Comprobar las tres igualdades.

   Ecuación, valor inicial y derivada inicial.

06 · Origen temporal flexible

El instante inicial no tiene por qué ser cero

Para y″+ω²y=0, una forma centrada en t₀ hace visibles los datos:

Al sustituir t=t₀, el coseno vale uno y el seno cero. Al derivar y volver a evaluar, obtenemos v₀. Esta forma evita trasladar mentalmente el origen.

Como ejemplo, si ω=2, y(3)=4 y y′(3)=−2, entonces

En una ecuación autónoma, cambiar t₀ desplaza la historia en el tiempo sin cambiar la ley. En una ecuación que depende explícitamente de t, el instante también puede alterar la aceleración inicial.

07 · Datos adecuados

Independencia, compatibilidad y condiciones de frontera

Las condiciones y(t₀)=y₀ y y′(t₀)=v₀ aportan información diferente. Repetir el mismo dato no determina una segunda constante. También puede ocurrir que condiciones mal planteadas sean incompatibles con la ecuación.

No todo par de condiciones es inicial. La diferencia importa en los algoritmos: un integrador temporal avanza desde un estado conocido, mientras un problema de frontera debe ajustar una trayectoria para satisfacer el extremo distante.

08 · Forma de estado

El PVI escalar se convierte en un PVI vectorial

Definimos y₁=y y y₂=y′. Entonces:

La aparente necesidad de dos condiciones desaparece como caso especial: es un sistema de primer orden cuyo estado inicial tiene dos componentes. Un algoritmo numérico recibe el vector completo y calcula su derivada:

Esta representación también aclara qué debe guardarse después de cada paso. Conservar solo y perdería la memoria dinámica necesaria para calcular el paso siguiente.

09 · ¿Hay una sola trayectoria?

Existencia, unicidad e intervalo de solución

Si F(t,y,v) es continua cerca de (t₀,y₀,v₀), normalmente se garantiza al menos una solución local. Si además es localmente Lipschitz respecto de (y,v), esa solución local es única.

La unicidad pertenece al estado completo. Dos soluciones pueden tener el mismo valor y en un instante y velocidades diferentes sin contradicción. Lo que no pueden compartir, bajo estas hipótesis, es el mismo triple (t,y,y′) y luego evolucionar de manera distinta.

La solución puede dejar de prolongarse si alguna componente crece sin límite o si la ley deja de estar definida. Por eso una respuesta completa incluye un intervalo que contiene a t₀.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: una ley, muchos estados iniciales

La ley y″+ω²y=0 se mantiene fija para cada valor de ω. Modificá y₀ y v₀ para observar cómo el punto y la pendiente inicial seleccionan otra oscilación.

La curva dorada es la solución y la línea discontinua es la tangente inicial. El punto rojo representa el dato y(0)=y₀.

Preguntas para explorar

1. Fijá v₀=0 y cambiá el signo de y₀. ¿Cómo cambia la aceleración inicial?
2. Fijá y₀=0 y compará velocidades iniciales positivas y negativas.
3. ¿Qué combinación produce la solución de equilibrio y=0?
4. Aumentá ω. ¿Qué cambia en el período y en la curvatura inicial?

11 · Representación en código

Modelar, comprobar y avanzar el estado inicial

Representar el PVI sin mezclar sus componentes

function crearPVI2(aceleracion, tInicial, posicion, velocidad) {
  if (typeof aceleracion !== "function") {
    throw new TypeError("La aceleración debe ser una función");
  }
  if (![tInicial, posicion, velocidad].every(Number.isFinite)) {
    throw new TypeError("El estado inicial debe ser finito");
  }

  return {
    aceleracion,
    tInicial,
    estadoInicial: [posicion, velocidad]
  };
}

const pvi = crearPVI2((t, y, v) => -4 * y, 0, 2, 0);
console.log(pvi.estadoInicial);

Construir la solución exacta del oscilador

function solucionOscilador({ omega, t0, y0, v0 }) {
  if (!(omega > 0)) throw new RangeError("omega debe ser positivo");

  return function estado(t) {
    const tau = t - t0;
    const y = y0 * Math.cos(omega * tau)
      + v0 / omega * Math.sin(omega * tau);
    const v = -omega * y0 * Math.sin(omega * tau)
      + v0 * Math.cos(omega * tau);
    return { y, v };
  };
}

const estado = solucionOscilador({ omega: 2, t0: 0, y0: 2, v0: 0 });
console.log(estado(0));
console.log(estado(1));

Integrar el sistema equivalente con RK4

const combinar = (estado, cambio, factor) =>
  estado.map((valor, i) => valor + factor * cambio[i]);

function pasoRK4(sistema, t, estado, h) {
  const k1 = sistema(t, estado);
  const k2 = sistema(t + h / 2, combinar(estado, k1, h / 2));
  const k3 = sistema(t + h / 2, combinar(estado, k2, h / 2));
  const k4 = sistema(t + h, combinar(estado, k3, h));
  return estado.map((valor, i) =>
    valor + h * (k1[i] + 2 * k2[i] + 2 * k3[i] + k4[i]) / 6
  );
}

const omega = 2;
const sistema = (t, [y, v]) => [v, -(omega ** 2) * y];
const estado1 = pasoRK4(sistema, 0, [2, 0], 0.1);
console.log(estado1);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: movimiento sin aceleración

Resolvé y″=0, y(2)=5, y′(2)=−3.

Ejercicio 2: aceleración inicial

Sin resolver, calculá y″(0) para y″=t−2y−3y′, y(0)=4, y′(0)=−1.

Ejercicio 3: determinar constantes

Para y=C₁cos(t)+C₂sin(t), aplicá y(0)=−2 y y′(0)=3.

Ejercicio 4: instante inicial no nulo

Resolvé y″+9y=0, y(1)=2, y′(1)=−6, usando una forma centrada.

Ejercicio 5: sistema equivalente

Convertí y″=et−y y′, y(0)=1, y′(0)=2, en un PVI de primer orden.

Ejercicio 6: clasificar las condiciones

¿Es un PVI la ecuación y″+y=0 con y(0)=0 e y(π)=0?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema estudiaremos cómo resolver sistemáticamente ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden mediante su ecuación característica.