Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes

01 · Una familia fundamental

Lineal, homogénea y con coeficientes constantes

Estudiaremos ecuaciones de la forma

Cada palabra describe una propiedad diferente:

El objetivo es construir una familia con dos constantes independientes. Después, un par de condiciones iniciales seleccionará una solución particular.

02 · Preparar la ecuación

Normalizar aclara qué parámetros importan

Como a≠0, podemos dividir toda la ecuación por a:

Ambas formas son equivalentes y tienen las mismas soluciones. La normalizada simplifica cálculos; la original puede conservar mejor el significado físico. Por ejemplo, en m x″+d x′+k x=0, los coeficientes representan masa, amortiguamiento y rigidez.

03 · La elección decisiva

¿Por qué probar con una exponencial?

Si proponemos y=ert, cada derivación solo introduce un factor:

Al sustituir en a y″+b y′+c y=0 obtenemos

Factorizamos la exponencial:

Como ert nunca vale cero, la igualdad se cumple exactamente cuando el factor algebraico es cero. Esa observación convierte el problema diferencial en uno de raíces.

04 · El puente algebraico

La ecuación característica

El polinomio

se denomina polinomio característico, y la ecuación P(r)=0 es la ecuación característica. Sus raíces se calculan con

El discriminante Δ=b²−4ac anticipa tres situaciones:

En este tema estableceremos el mecanismo general y resolveremos en detalle el caso de dos raíces reales distintas. El siguiente tema desarrollará y comparará los tres casos.

05 · Primer caso completo

Dos raíces reales distintas producen dos modos

Resolvamos y″−3y′+2y=0. Su ecuación característica es

Las raíces r₁=1 y r₂=2 generan las soluciones et y e2t. Como la ecuación es lineal y homogénea, cualquier combinación lineal también es solución:

Las dos exponenciales son linealmente independientes porque una no es múltiplo constante de la otra. Por eso aportan los dos grados de libertad requeridos por una ecuación de segundo orden.

La raíz mayor domina cuando t→∞, salvo que su coeficiente sea cero. En cambio, al estudiar otros intervalos o raíces negativas, la comparación debe hacerse con cuidado.

06 · Estructura lineal

El principio de superposición construye la familia

Definamos el operador lineal L[y]=a y″+b y′+c y. Para constantes α y β,

Si L[y₁]=0 y L[y₂]=0, entonces L[αy₁+βy₂]=0. Esto explica por qué podemos combinar los modos encontrados.

Pero no alcanza con tener dos soluciones: deben ser independientes. Una prueba útil es el wronskiano:

Para y₁=er₁t y y₂=er₂t,

Si r₁≠r₂, el wronskiano nunca se anula y los modos forman un conjunto fundamental.

07 · De la familia al PVI

Las condiciones iniciales fijan los coeficientes

Para la familia y=C₁et+C₂e2t, consideremos y(0)=3 y y′(0)=4. Como

los datos producen el sistema

Restar las ecuaciones da C₂=1 y luego C₁=2. La solución particular es

El sistema algebraico tiene solución única precisamente porque los modos son independientes. En un instante inicial general t₀, se evalúan las exponenciales y sus derivadas en t₀; no debe sustituirse cero por costumbre.

08 · Verificar sin atajos

La raíz anula el residuo diferencial

Para una candidata y=ert, el residuo es

Si r es raíz, el residuo es idénticamente cero. Si no lo es, la candidata no resuelve la ecuación, aunque pueda coincidir con una solución en algún punto.

1. 1
   Clasificar la ecuación.

   Comprobar linealidad, homogeneidad y constancia de coeficientes.

2. 2
   Formar el polinomio.

   Reemplazar y″, y′, y por r², r, 1, respetando coeficientes y signos.

3. 3
   Hallar y clasificar las raíces.

   El discriminante determina la forma apropiada de la familia.

4. 4
   Construir modos independientes.

   Una ecuación de segundo orden necesita dos.

5. 5
   Aplicar y comprobar datos.

   Verificar la ecuación y cada condición del PVI.

09 · Qué cuentan las raíces

El álgebra anticipa el comportamiento

Las raíces no son solo una herramienta formal. Sus partes reales indican crecimiento o decaimiento; las partes imaginarias, cuando aparecen, introducen oscilación. En el caso de raíces reales distintas:

Las unidades también deben ser coherentes. Como rt es adimensional, una raíz característica tiene unidades de inverso de tiempo. En la forma normalizada, p tiene unidades de 1/tiempo y q de 1/tiempo².

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: de una exponencial al polinomio característico

Explorá la ecuación normalizada y″+p y′+q y=0 y una candidata y=ert. El panel superior muestra P(s)=s²+ps+q; el inferior, la exponencial propuesta. La candidata es solución solo cuando el punto elegido cae sobre un cero del polinomio.

El punto rojo representa P(r). Cuando toca el eje horizontal, el residuo de la ecuación diferencial se anula.

Preguntas para explorar

1. Con p=−3 y q=2, probá r=1, r=2 y r=0. ¿Cuáles anulan el residuo?
2. Cambiá q hasta que el discriminante sea cero. ¿Cómo se tocan la parábola y el eje?
3. Buscá coeficientes con discriminante negativo. ¿Por qué ninguna elección real de r funciona?
4. Compará exponentes positivos y negativos en el panel inferior.

11 · Representación en código

Automatizar sin ocultar la matemática

Calcular y clasificar las raíces

function raicesCaracteristicas(a, b, c, tolerancia = 1e-12) {
  if (![a, b, c].every(Number.isFinite) || Math.abs(a) < tolerancia) {
    throw new TypeError("Se requieren coeficientes finitos y a distinto de cero");
  }

  const discriminante = b ** 2 - 4 * a * c;
  if (discriminante > tolerancia) {
    const raiz = Math.sqrt(discriminante);
    return { tipo: "reales distintas", valores: [(-b + raiz) / (2 * a), (-b - raiz) / (2 * a)] };
  }
  if (Math.abs(discriminante) <= tolerancia) {
    return { tipo: "real repetida", valores: [-b / (2 * a)] };
  }
  return {
    tipo: "complejas conjugadas",
    real: -b / (2 * a),
    imaginaria: Math.sqrt(-discriminante) / (2 * Math.abs(a))
  };
}

console.log(raicesCaracteristicas(1, -3, 2));

Construir la solución para raíces reales distintas

function solucionDosRaices(r1, r2, c1, c2) {
  if (Math.abs(r1 - r2) < 1e-12) {
    throw new RangeError("Las raíces deben ser distintas");
  }
  return {
    valor(t) {
      return c1 * Math.exp(r1 * t) + c2 * Math.exp(r2 * t);
    },
    derivada(t) {
      return c1 * r1 * Math.exp(r1 * t)
        + c2 * r2 * Math.exp(r2 * t);
    }
  };
}

const solucion = solucionDosRaices(1, 2, 2, 1);
console.log(solucion.valor(0), solucion.derivada(0));

Medir el residuo de una candidata

function residuoExponencial(a, b, c, r, t) {
  const factorCaracteristico = a * r ** 2 + b * r + c;
  return factorCaracteristico * Math.exp(r * t);
}

const tiempos = [0, 0.5, 1, 1.5];
const residuosRaiz = tiempos.map(t =>
  residuoExponencial(1, -3, 2, 1, t)
);
const residuosNoRaiz = tiempos.map(t =>
  residuoExponencial(1, -3, 2, 0, t)
);

console.log(residuosRaiz);
console.log(residuosNoRaiz);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: reconocer la clase

¿Puede aplicarse directamente este método a 3y″+2y′−5y=0?

Ejercicio 2: formar la característica

Escribí el polinomio característico de 4y″−12y′+5y=0.

Ejercicio 3: resolver con raíces distintas

Resolvé y″−y′−6y=0.

Ejercicio 4: aplicar condiciones

Para la ecuación anterior, imponé y(0)=4 y y′(0)=2.

Ejercicio 5: comprobar una candidata

¿Es y=e−2t solución de y″+5y′+6y=0?

Ejercicio 6: anticipar el comportamiento

Sin determinar constantes, describí el comportamiento de las soluciones de y″+3y′+2y=0 cuando t→∞.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

El siguiente tema desarrollará las tres formas de solución que surgen según la naturaleza de las raíces.