Raíces reales, repetidas y complejas

01 · Un cálculo, tres caminos

El discriminante decide la forma de la solución

Para la ecuación lineal homogénea

la propuesta y=ert conduce a a r²+b r+c=0. El discriminante

determina cuántas raíces reales existen y, por lo tanto, cómo se construyen los dos modos independientes que necesita la solución general.

02 · Primer régimen

Dos raíces reales distintas: dos exponenciales

Si Δ>0, la fórmula cuadrática produce dos números reales diferentes:

Cada raíz genera una solución, y como r₁≠r₂, las exponenciales son independientes:

Por ejemplo, para y″+y′−6y=0,

Un modo crece y el otro decae. Salvo que C₁=0, el modo e2t termina dominando cuando t→∞.

03 · Segundo régimen

Una raíz repetida necesita un segundo modo nuevo

Si Δ=0, la única raíz es r=−b/(2a). La función ert aporta un modo, pero escribirla dos veces no crea dos constantes efectivas:

El segundo modo independiente es t ert. La familia correcta es

Para y″−4y′+4y=0, la característica es (r−2)²=0, de modo que

El factor t no es decorativo: recupera el grado de libertad perdido por la coincidencia de las raíces.

04 · Por qué aparece t

La raíz repetida puede verse como un límite

Supongamos dos raíces cercanas, r y r+h. Una combinación normalizada de sus modos es

Al hacer h→0, esta diferencia cociente se convierte en la derivada respecto del parámetro r:

Así, cuando dos modos exponenciales se fusionan, el modo tert sobrevive como dirección independiente. El wronskiano lo confirma:

Esta idea de multiplicar por una potencia de t reaparece en ecuaciones de orden superior cuando una raíz tiene multiplicidad mayor.

05 · Tercer régimen

Raíces complejas: crecimiento y oscilación

Si Δ<0, las raíces forman un par conjugado:

Los modos complejos e(α±βi)t se transforman mediante la identidad de Euler, eiθ=cos θ+i sin θ. Una base real es

Por tanto, la solución general real queda

Para y″+2y′+5y=0, las raíces son −1±2i y

06 · Leer α y β

La parte real es la envolvente; la imaginaria, la frecuencia

La combinación trigonométrica también puede escribirse como una sola función con fase:

Esta forma separa la amplitud inicial A de la fase φ. La envolvente completa es ±Aeαt.

07 · Seleccionar una trayectoria

Cómo aplicar y(0)=y₀, y′(0)=v₀ en cada caso

Las constantes cambian de interpretación según el tipo de raíz. Para datos en t=0:

Estas fórmulas son atajos derivados de evaluar y e y′ en cero. Para un instante t₀≠0, conviene centrar las expresiones en τ=t−t₀ o resolver el sistema algebraico correspondiente.

08 · Tres PVI breves

La misma información inicial, tres respuestas diferentes

Raíces distintas

Para y″−y′−2y=0, y(0)=3, y′(0)=0, las raíces son 2 y −1. Las fórmulas dan C₁=1 y C₂=2:

Raíz repetida

Para y″+2y′+y=0 con los mismos datos, r=−1, C₁=3 y C₂=3:

Raíces complejas

Para y″+2y′+5y=0, también con y(0)=3, y′(0)=0, tenemos α=−1, β=2, C₁=3 y C₂=3/2:

09 · Implementación robusta

Cerca de Δ=0, la clasificación requiere tolerancia

En aritmética exacta, el signo de Δ decide el caso. En una computadora, coeficientes aproximados pueden producir un valor diminuto como −2×10−15 cuando matemáticamente se esperaba cero.

Conviene comparar el discriminante con una tolerancia relativa a la escala:

Entonces se clasifica como repetida si |Δ|≤ε. También hay que evitar fórmulas con r₁−r₂ en el denominador cuando las raíces están casi fusionadas: aunque sean correctas algebraicamente, pueden amplificar errores de redondeo.

La clasificación numérica es una decisión computacional; no cambia el concepto matemático, pero sí la estabilidad de la implementación.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: atravesar los tres regímenes

Modificá p y q en y″+py′+qy=0. El laboratorio clasifica las raíces, construye la solución que cumple y(0)=y₀, y′(0)=v₀ y grafica su evolución.

La curva dorada es la solución del PVI y las líneas discontinuas muestran su envolvente cuando las raíces son complejas.

Preguntas para explorar

1. Usá p=−1, q=−2. ¿Qué modos reales aparecen y cuál domina?
2. Elegí p=2, q=1. ¿Qué raíz se repite y qué factor adicional aparece?
3. Con q=5, cambiá el signo de p. ¿La envolvente crece o decrece?
4. Mantené la ecuación y modificá los datos iniciales. ¿Cambian las raíces?

11 · Representación en código

Un solucionador exacto por casos

Clasificar las raíces con una tolerancia escalada

function clasificarRaices(a, b, c, epsilonBase = 1e-12) {
  if (![a, b, c].every(Number.isFinite) || a === 0) {
    throw new TypeError("Coeficientes inválidos");
  }
  const delta = b ** 2 - 4 * a * c;
  const tolerancia = epsilonBase * Math.max(1, b ** 2, Math.abs(4 * a * c));

  if (delta > tolerancia) {
    const raiz = Math.sqrt(delta);
    return { tipo: "distintas", r1: (-b + raiz) / (2 * a), r2: (-b - raiz) / (2 * a) };
  }
  if (delta < -tolerancia) {
    return { tipo: "complejas", alfa: -b / (2 * a), beta: Math.sqrt(-delta) / (2 * Math.abs(a)) };
  }
  return { tipo: "repetida", r: -b / (2 * a) };
}

console.log(clasificarRaices(1, 2, 5));

Determinar constantes desde el estado inicial

function ajustarCondiciones(raices, y0, v0) {
  if (raices.tipo === "distintas") {
    const { r1, r2 } = raices;
    return {
      c1: (v0 - r2 * y0) / (r1 - r2),
      c2: (r1 * y0 - v0) / (r1 - r2)
    };
  }
  if (raices.tipo === "repetida") {
    return { c1: y0, c2: v0 - raices.r * y0 };
  }
  return {
    c1: y0,
    c2: (v0 - raices.alfa * y0) / raices.beta
  };
}

const raices = clasificarRaices(1, 2, 5);
console.log(ajustarCondiciones(raices, 2, 0));

Evaluar cualquiera de las tres soluciones

function evaluarSolucion(raices, constantes, t) {
  const { c1, c2 } = constantes;
  if (raices.tipo === "distintas") {
    return c1 * Math.exp(raices.r1 * t)
      + c2 * Math.exp(raices.r2 * t);
  }
  if (raices.tipo === "repetida") {
    return (c1 + c2 * t) * Math.exp(raices.r * t);
  }
  return Math.exp(raices.alfa * t) * (
    c1 * Math.cos(raices.beta * t)
    + c2 * Math.sin(raices.beta * t)
  );
}

const constantes = ajustarCondiciones(raices, 2, 0);
console.log(evaluarSolucion(raices, constantes, 0));
console.log(evaluarSolucion(raices, constantes, 2));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: raíces distintas

Resolvé y″−5y′+6y=0.

Ejercicio 2: raíz repetida

Resolvé y″+6y′+9y=0.

Ejercicio 3: raíces complejas

Resolvé y″−4y′+13y=0.

Ejercicio 4: PVI con raíz doble

Resolvé y″−2y′+y=0, y(0)=2, y′(0)=5.

Ejercicio 5: PVI oscilatorio

Resolvé y″+4y=0, y(0)=3, y′(0)=−2.

Ejercicio 6: interpretar raíces

Una ecuación tiene raíces −0,5±4i. Describí su comportamiento y calculá el período.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el siguiente tema agregaremos fuerzas externas y separaremos la respuesta en solución complementaria y solución particular.