Ecuaciones no homogéneas y fuerzas externas

01 · Cuando aparece una entrada

El miembro derecho representa una influencia externa

Una ecuación lineal no homogénea de segundo orden tiene la forma

La función g(t) puede representar una fuerza aplicada, una señal eléctrica, una fuente térmica o cualquier entrada que actúe sobre el sistema. Si g(t)=0, recuperamos la ecuación homogénea estudiada en los temas anteriores.

02 · Una notación que organiza

El operador lineal permite ver la estructura

Definimos

Su propiedad esencial es la linealidad:

Buscamos una función yp que satisfaga L[yp]=g(t). Si yc es cualquier solución de la homogénea, L[yc]=0, entonces

Por eso toda suma yc+yp resuelve la ecuación no homogénea. Además, si y y yp son dos soluciones de la misma ecuación, su diferencia satisface L[y−yp]=0. Esto demuestra que no faltan soluciones.

03 · La fórmula estructural

Solución complementaria más solución particular

Una solución particular no es única: si yp sirve, también sirve yp+h para cualquier solución homogénea h. La familia completa no cambia, porque ese término puede absorberse en yc.

04 · Procedimiento general

Resolver en dos problemas más simples

1. 1
   Resolver la ecuación homogénea.

   Formar la característica y construir yc según sus raíces.

2. 2
   Proponer una particular.

   Elegir una forma compatible con g(t) y sus derivadas.

3. 3
   Determinar sus coeficientes.

   Derivar, sustituir y comparar términos semejantes.

4. 4
   Sumar ambas partes.

   Escribir y=yc+yp antes de usar los datos.

5. 5
   Aplicar las condiciones iniciales.

   Las condiciones pertenecen a la solución completa, no solo a la complementaria.

6. 6
   Comprobar.

   Verificar la ecuación no homogénea y todos los datos del PVI.

La parte homogénea se obtiene con el método característico. El nuevo trabajo consiste en encontrar al menos una particular.

05 · Elegir una particular

El método de coeficientes indeterminados

Cuando g(t) es una combinación de polinomios, exponenciales, senos y cosenos, proponemos una forma que permanezca dentro de la misma familia al derivarse. Sus coeficientes se dejan inicialmente desconocidos.

Para una entrada trigonométrica hay que incluir seno y coseno aunque solo aparezca uno en g(t), porque derivar intercambia ambas funciones.

Este método no sirve directamente para entradas arbitrarias como ln(t) o datos experimentales sin una forma cerrada. En esos casos se necesitan variación de parámetros, transformadas o métodos numéricos.

06 · Ejemplo completo

Una fuerza constante desplaza el equilibrio

Consideremos

La característica de la homogénea es r²+3r+2=(r+1)(r+2), por lo que

Como la entrada es constante, proponemos yp=A. Sus derivadas son cero y la sustitución da 2A=6, de donde A=3. La solución general es

Los exponenciales forman el transitorio y desaparecen con el tiempo. La particular constante permanece: la fuerza sostenida cambió el equilibrio de cero a tres.

07 · Completar el PVI

Los datos se aplican después de sumar la particular

Agreguemos y(0)=0 y y′(0)=0 al ejemplo anterior. De

obtenemos C₁+C₂=−3 y −C₁−2C₂=0. Por tanto, C₁=−6 y C₂=3:

Si se aplicaran los datos únicamente a yc, se estaría ignorando que yp(0)=3. El resultado no cumpliría el estado inicial.

08 · Cuando la propuesta ya está ocupada

Si la entrada coincide con un modo natural, hay que multiplicar por t

Intentemos resolver y″−3y′+2y=et. La homogénea tiene raíces 1 y 2, de modo que et ya pertenece a yc. Proponer Aet produce cero al aplicar el operador, sin importar A; jamás puede igualar la entrada.

Multiplicamos entonces por t:

Al sustituir se obtiene −Aet=et, de modo que A=−1 y yp=−tet.

La regla general es multiplicar la propuesta por la menor potencia de t que la vuelva independiente de la complementaria. Si la coincidencia corresponde a una raíz de multiplicidad dos, se multiplica por t².

09 · Varias fuerzas

La respuesta a una suma es la suma de respuestas

Si la entrada se descompone como g=g₁+g₂ y encontramos

entonces L[yp1+yp2]=g₁+g₂. Podemos resolver cada componente por separado y sumar sus particulares.

Esta superposición de entradas permite analizar señales complejas a partir de bloques simples. Sin embargo, solo es válida para modelos lineales. En una ecuación con y², productos de soluciones generan términos cruzados y la propiedad se pierde.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: transitorio más equilibrio forzado

Explorá y″+3y′+2y=F. La línea violeta muestra la particular constante F/2, la línea tenue muestra la complementaria y la curva dorada representa su suma.

La respuesta completa es la suma punto a punto de la solución complementaria y la particular.

Preguntas para explorar

1. Duplicá F. ¿Cómo cambia el equilibrio final?
2. Fijá y₀=F/2 y v₀=0. ¿Qué ocurre con el transitorio?
3. Mantené la fuerza y cambiá solo v₀. ¿Cambia el límite?
4. Elegí una fuerza negativa. ¿Hacia qué valor converge la solución?

11 · Representación en código

Separar las partes también mejora el programa

Construir la respuesta a una entrada constante

function respuestaConstante({ fuerza, y0, v0 }) {
  const particular = fuerza / 2;
  const diferenciaInicial = y0 - particular;
  const c2 = -v0 - diferenciaInicial;
  const c1 = diferenciaInicial - c2;

  return {
    complementaria(t) {
      return c1 * Math.exp(-t) + c2 * Math.exp(-2 * t);
    },
    particular() {
      return particular;
    },
    valor(t) {
      return particular + c1 * Math.exp(-t) + c2 * Math.exp(-2 * t);
    }
  };
}

const respuesta = respuestaConstante({ fuerza: 6, y0: 0, v0: 0 });
console.log(respuesta.valor(0), respuesta.valor(2));

Comprobar el residuo de la solución completa

function comprobar(t, fuerza, c1, c2) {
  const y = fuerza / 2 + c1 * Math.exp(-t) + c2 * Math.exp(-2 * t);
  const dy = -c1 * Math.exp(-t) - 2 * c2 * Math.exp(-2 * t);
  const d2y = c1 * Math.exp(-t) + 4 * c2 * Math.exp(-2 * t);
  return d2y + 3 * dy + 2 * y - fuerza;
}

const puntos = [0, 0.5, 1, 2, 4];
console.log(puntos.map(t => comprobar(t, 6, -6, 3)));

Integrar una fuerza arbitraria como sistema

function crearSistemaForzado(fuerza) {
  return function sistema(t, [y, v]) {
    return [v, fuerza(t) - 3 * v - 2 * y];
  };
}

const fuerzaPorTramos = t => t < 2 ? 0 : 6;
const sistema = crearSistemaForzado(fuerzaPorTramos);

console.log(sistema(1, [0, 0]));
console.log(sistema(3, [0, 0]));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: entrada constante

Encontrá una particular de y″+4y′+3y=12.

Ejercicio 2: solución completa

Resolvé la ecuación del ejercicio anterior.

Ejercicio 3: entrada exponencial

Encontrá una particular de y″+y=5e2t.

Ejercicio 4: entrada trigonométrica

¿Qué forma inicial propondrías para una particular de y″−y′+2y=3cos(4t)?

Ejercicio 5: detectar coincidencia

Para y″−4y′+4y=e2t, ¿por qué no sirve Ae2t y qué propuesta corresponde?

Ejercicio 6: superponer entradas

Si L[u]=3 y L[v]=sin(t), ¿qué función es particular para L[y]=6−4sin(t)?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos estas ideas al movimiento armónico simple y conectaremos raíces complejas con amplitud, frecuencia, fase y energía.