Movimiento armónico simple

01 · Oscilar alrededor del equilibrio

Una fuerza que siempre apunta hacia el centro

El movimiento armónico simple aparece cuando la aceleración es proporcional al desplazamiento y tiene signo opuesto:

Si x>0, la aceleración es negativa; si x<0, es positiva. En ambos casos apunta hacia x=0, la posición de equilibrio. Al cruzar el equilibrio, la velocidad acumulada hace que el objeto continúe hacia el otro lado y el proceso se repite.

02 · Del fenómeno al modelo

La ley de Hooke y la segunda ley de Newton

Para un resorte ideal, la ley de Hooke establece que la fuerza restauradora es

donde k>0 es la rigidez y x se mide desde la posición de equilibrio. La segunda ley de Newton da F=mx″. Al combinarlas:

Definimos la frecuencia angular natural

y obtenemos la forma canónica x″+ω²x=0. La masa aporta inercia; la rigidez aporta la tendencia a regresar al equilibrio.

03 · Resolver la ecuación

Las raíces imaginarias producen seno y coseno

La ecuación característica de x″+ω²x=0 es

Como las raíces tienen parte real cero, no aparece una envolvente exponencial creciente ni decreciente. La solución general real es

Su velocidad y aceleración son

La última igualdad recupera directamente la ley diferencial y muestra que la aceleración siempre está en oposición de fase con la posición.

04 · Otra forma de la misma solución

Amplitud y fase describen la geometría de la oscilación

La combinación de seno y coseno puede escribirse como una sola función desplazada:

Al expandir cos(ωt+φ) y comparar coeficientes:

La amplitud A≥0 es el máximo valor absoluto del desplazamiento. La fase φ indica en qué punto del ciclo se encuentra el oscilador cuando t=0.

05 · Posición y velocidad iniciales

El estado inicial fija amplitud y fase

Para x(0)=x₀ y x′(0)=v₀, la forma cartesiana da inmediatamente

Por tanto,

Para recuperar la fase sin perder el cuadrante correcto se usa la función de dos argumentos:

Ejemplo: si ω=2, x₀=3 y v₀=−2, entonces C₁=3, C₂=−1, A=√10 y x=3cos(2t)−sin(2t).

06 · Escalas temporales

Frecuencia angular, frecuencia y período

El argumento de las funciones trigonométricas aumenta 2π radianes durante un ciclo. Por eso

En el resorte ideal, T=2π√(m/k). Duplicar la masa no duplica el período: lo multiplica por √2. Cuadruplicar la rigidez reduce el período a la mitad.

07 · Desfase entre magnitudes

Posición, velocidad y aceleración no alcanzan sus extremos juntas

Si x=Acos(ωt+φ), entonces

La velocidad está desplazada un cuarto de ciclo respecto de la posición. La aceleración está desplazada medio ciclo: cuando la posición es máxima positiva, la aceleración es máxima negativa.

08 · Una cantidad conservada

La energía total permanece constante

Multiplicar mx″+kx=0 por x′ permite reconocer una derivada total:

Así,

En los extremos, toda la energía es potencial elástica. Al cruzar el equilibrio, toda es cinética. Usando ω²=k/m y la amplitud:

Esta identidad relaciona el tamaño geométrico de la oscilación con una cantidad física. También sirve para validar simulaciones: una deriva de energía revela error numérico o la presencia de fuerzas no incluidas en el modelo ideal.

09 · Ver el ciclo como una órbita

En el plano de fase, la trayectoria es una elipse

A partir de la conservación de energía,

En el plano (x,v), cada solución no trivial recorre una elipse cerrada. El semieje horizontal es A y el vertical es Aω. Distintas fases corresponden a distintos puntos de la misma órbita; distintas amplitudes producen elipses anidadas.

El origen (0,0) es el equilibrio. Las trayectorias cercanas permanecen cerca, pero no convergen al origen porque no hay disipación. Por eso el equilibrio es estable, aunque no asintóticamente estable.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: tiempo, fase y energía

Modificá masa, rigidez, amplitud y fase. El panel superior muestra x(t); el inferior muestra la órbita en el plano (x,v). El punto rojo representa el mismo instante en ambos paneles.

La curva dorada representa la posición. La órbita violeta reúne todos los estados posición–velocidad durante un ciclo.

Preguntas para explorar

1. Duplicá la masa sin cambiar k. ¿Cómo cambian ω y T?
2. Cambiá solo la fase. ¿Se modifica la elipse del plano de fase?
3. Duplicá la amplitud. ¿Por qué la energía se cuadruplica?
4. Elegí φ≈π/2. ¿Cuál es la posición inicial y hacia dónde comienza a moverse?

11 · Representación en código

Encapsular un oscilador ideal

Construir el modelo desde parámetros físicos

function crearOscilador({ masa, rigidez, amplitud, fase = 0 }) {
  if (![masa, rigidez].every(valor => valor > 0)) {
    throw new RangeError("Masa y rigidez deben ser positivas");
  }
  if (!(amplitud >= 0)) throw new RangeError("Amplitud inválida");

  const omega = Math.sqrt(rigidez / masa);
  return {
    omega,
    periodo: 2 * Math.PI / omega,
    posicion: t => amplitud * Math.cos(omega * t + fase),
    velocidad: t => -amplitud * omega * Math.sin(omega * t + fase),
    aceleracion: t => -(omega ** 2) * amplitud * Math.cos(omega * t + fase),
    energia: 0.5 * rigidez * amplitud ** 2
  };
}

const oscilador = crearOscilador({ masa: 1, rigidez: 4, amplitud: 3 });
console.log(oscilador.periodo, oscilador.energia);

Obtener amplitud y fase desde el estado inicial

function amplitudYFase(x0, v0, omega) {
  if (!(omega > 0)) throw new RangeError("omega debe ser positiva");
  const senoEscalado = -v0 / omega;
  return {
    amplitud: Math.hypot(x0, senoEscalado),
    fase: Math.atan2(senoEscalado, x0)
  };
}

const parametros = amplitudYFase(3, -2, 2);
console.log(parametros);

Comprobar conservación de energía

function energiaInstantanea(masa, rigidez, posicion, velocidad) {
  return 0.5 * masa * velocidad ** 2
    + 0.5 * rigidez * posicion ** 2;
}

const tiempos = Array.from({ length: 101 }, (_, i) => i * 0.05);
const energias = tiempos.map(t =>
  energiaInstantanea(
    1,
    4,
    oscilador.posicion(t),
    oscilador.velocidad(t)
  )
);
const deriva = Math.max(...energias) - Math.min(...energias);
console.log(deriva);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: construir la ecuación

Una masa de 2 kg se une a un resorte de 18 N/m. Escribí la ecuación y calculá ω.

Ejercicio 2: período

Calculá el período del sistema anterior.

Ejercicio 3: aplicar condiciones iniciales

Resolvé x″+9x=0, x(0)=2, x′(0)=−3.

Ejercicio 4: amplitud

Calculá la amplitud de la solución anterior.

Ejercicio 5: energía

Para m=2 kg, k=18 N/m y amplitud √5 m, calculá la energía.

Ejercicio 6: estado en puntos especiales

Para x=Acos(ωt), indicá posición, velocidad y aceleración en t=T/4.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

El siguiente tema incorporará pérdida de energía, fuerzas periódicas y resonancia para estudiar oscilaciones más realistas.