Amortiguamiento, forzamiento y resonancia

01 · Un oscilador más realista

La energía puede perderse y también ingresar

El oscilador armónico ideal conserva su energía indefinidamente. Los sistemas reales sufren rozamiento y pueden recibir fuerzas externas. Un modelo lineal fundamental es

Las unidades SI son m en kg, c en N·s/m, k en N/m y F en N.

02 · Oscilación sin fuerza externa

El amortiguamiento modifica las raíces características

Al tomar F(t)=0, la ecuación característica es

Su discriminante c²−4mk compara la disipación con la inercia y la rigidez. El valor crítico es

También se usa la razón de amortiguamiento ζ=c/(2√(mk)): los tres casos corresponden a ζ<1, ζ=1 y ζ>1.

03 · Amplitud decreciente

El régimen subamortiguado todavía oscila

Si c²<4mk, las raíces son −γ±ωdi, donde

La solución libre es

La envolvente e−γt reduce la amplitud. La frecuencia amortiguada ωd es menor que la frecuencia natural no amortiguada ω₀=√(k/m).

El tiempo característico 1/γ=2m/c indica la escala en la que la envolvente cae por un factor e. No es el tiempo exacto para detenerse: la exponencial se aproxima a cero sin alcanzarlo en tiempo finito.

04 · Regresar sin oscilar

Amortiguamiento crítico y sobreamortiguamiento

Régimen crítico

Si c²=4mk, aparece la raíz doble r=−c/(2m):

Es el umbral entre oscilar y no oscilar. En aplicaciones de control y medición suele interesar porque permite un retorno rápido sin sobrepasos repetidos.

Régimen sobreamortiguado

Si c²>4mk, las raíces reales son negativas:

El movimiento no oscila. Uno de los modos decae más lentamente y termina dominando. Aumentar demasiado el rozamiento puede hacer más lenta la recuperación.

05 · Una fuerza que repite su ciclo

La respuesta completa tiene transitorio y estado estacionario

Consideremos una entrada sinusoidal:

La solución completa se separa como

Si c>0, la complementaria xc decae y representa el transitorio asociado a las condiciones iniciales. La particular periódica permanece mientras actúa la fuerza y se denomina respuesta estacionaria:

La salida oscila a la frecuencia de la entrada Ω, no necesariamente a la frecuencia natural. El sistema modifica su amplitud y agrega un retraso de fase.

06 · Respuesta en frecuencia

La amplitud y el desfase dependen de Ω

Proponer xp=Bcos(Ωt)+Csin(Ωt) y comparar coeficientes conduce a

La función atan2 conserva el cuadrante correcto y produce un desfase entre 0 y π para parámetros positivos.

Cuando Ω=ω₀=√(k/m), los términos elástico e inercial se cancelan en el denominador y la amplitud vale F₀/(cω₀) si c>0.

07 · Máxima respuesta

La resonancia no es simplemente “frecuencias iguales”

La resonancia se identifica con una respuesta especialmente grande al variar la frecuencia de excitación. Para el desplazamiento y un amortiguamiento suficientemente pequeño, la amplitud estacionaria alcanza su máximo en

Esta frecuencia existe como máximo interior solo si c²<2mk. Con amortiguamiento, Ωr es ligeramente menor que ω₀. Al aumentar c, el pico baja, se ensancha y puede desaparecer.

En el caso ideal c=0 y Ω=ω₀, no existe una respuesta estacionaria de amplitud finita. Una particular contiene un factor temporal:

La envolvente crece linealmente porque la fuerza entrega energía de manera coherente ciclo tras ciclo.

08 · Balance energético

El amortiguador disipa y la fuerza repone energía

Para la energía mecánica E=mv²/2+kx²/2, derivar y usar la ecuación da

El término F(t)v es la potencia instantánea suministrada por la fuerza; cv²≥0 es la potencia disipada. Sin fuerza externa,

En el régimen estacionario periódico, la energía al comienzo y al final de un ciclo es la misma. Por lo tanto, la energía promedio entregada por la fuerza durante un período iguala exactamente la energía disipada.

Cerca de la resonancia, fuerza y velocidad están mejor alineadas para transferir energía, lo que explica la gran respuesta sin depender únicamente de una manipulación algebraica.

09 · Dos escalas en una misma señal

Las condiciones iniciales afectan el transitorio, no la respuesta final

Para c>0, dos soluciones sometidas a la misma fuerza pero con estados iniciales diferentes tienen una diferencia que satisface la ecuación homogénea. Esa diferencia decae:

A largo plazo ambas convergen a la misma respuesta estacionaria. La rapidez de esa convergencia depende de los modos homogéneos, mientras que la amplitud y el desfase finales dependen de m,c,k,F₀,Ω.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: curva de resonancia

Para m=1 kg y k=4 N/m, modificá el amortiguamiento, la amplitud de la fuerza y su frecuencia. El panel superior muestra la respuesta estacionaria; el inferior, la amplitud para todas las frecuencias.

La curva violeta muestra la amplitud estacionaria según la frecuencia; el punto rojo marca la excitación seleccionada.

Preguntas para explorar

1. Reducí c. ¿Qué ocurre con la altura y el ancho del pico?
2. Aumentá F₀. ¿Cambia la frecuencia del máximo?
3. Compará Ω muy pequeña, cercana a 2 y grande. ¿Cómo cambia el desfase?
4. Aumentá c hasta que deje de existir un máximo interior. ¿Qué indica el resultado?

11 · Representación en código

Calcular la respuesta en frecuencia

Clasificar el movimiento libre

function clasificarAmortiguamiento(masa, amortiguamiento, rigidez, tolerancia = 1e-10) {
  const critico = 2 * Math.sqrt(masa * rigidez);
  const diferencia = amortiguamiento - critico;
  if (Math.abs(diferencia) <= tolerancia * Math.max(1, critico)) {
    return "crítico";
  }
  return diferencia < 0 ? "subamortiguado" : "sobreamortiguado";
}

console.log(clasificarAmortiguamiento(1, 0.6, 4));
console.log(clasificarAmortiguamiento(1, 4, 4));

Obtener amplitud y desfase estacionarios

function respuestaFrecuencia({ masa, amortiguamiento, rigidez, fuerza, omega }) {
  const parteReal = rigidez - masa * omega ** 2;
  const parteImaginaria = amortiguamiento * omega;
  const denominador = Math.hypot(parteReal, parteImaginaria);
  return {
    amplitud: fuerza / denominador,
    desfase: Math.atan2(parteImaginaria, parteReal)
  };
}

const respuesta = respuestaFrecuencia({
  masa: 1, amortiguamiento: 0.6, rigidez: 4,
  fuerza: 2, omega: 1.8
});
console.log(respuesta);

Buscar numéricamente el pico de una curva

function buscarPico(parametros, minimo, maximo, muestras = 2000) {
  let mejor = { omega: minimo, amplitud: -Infinity };
  for (let i = 0; i <= muestras; i++) {
    const omega = minimo + (maximo - minimo) * i / muestras;
    const { amplitud } = respuestaFrecuencia({ ...parametros, omega });
    if (amplitud > mejor.amplitud) mejor = { omega, amplitud };
  }
  return mejor;
}

const pico = buscarPico(
  { masa: 1, amortiguamiento: 0.6, rigidez: 4, fuerza: 2 },
  0,
  5
);
console.log(pico);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: clasificar el amortiguamiento

Clasificá 2x″+6x′+8x=0.

Ejercicio 2: frecuencia amortiguada

Calculá γ y ωd para el sistema anterior.

Ejercicio 3: amortiguamiento crítico

¿Qué valor de c produce amortiguamiento crítico si m=3 y k=12?

Ejercicio 4: amplitud estacionaria

Para m=1, c=1, k=5, F₀=3 y Ω=2, calculá A.

Ejercicio 5: desfase

Calculá el desfase del ejercicio anterior.

Ejercicio 6: balance de energía

En un instante, F=5 N, v=2 m/s y c=1 N·s/m. Calculá dE/dt.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el siguiente tema generalizaremos la idea de estado para convertir cualquier ecuación de orden superior en un sistema de primer orden.