De orden superior a un sistema de primer orden

01 · Una forma común

Los integradores trabajan con estados de primer orden

Una ecuación escalar de orden n puede escribirse en forma explícita como

Aunque contiene una derivada de orden alto, puede reorganizarse como n ecuaciones de primer orden. La idea es tratar cada derivada necesaria para predecir la siguiente evolución como una componente del estado.

Esta conversión no aproxima ni cambia la ecuación: conserva exactamente sus soluciones mientras estén suficientemente derivables.

02 · La receta general

Cada componente desplaza la cadena de derivadas

Definimos

Al derivar cada definición:

Las primeras n−1 ecuaciones solo desplazan información. La última contiene toda la ley dinámica original.

03 · Ejemplo paso a paso

Convertir una ecuación de tercer orden

Consideremos

Primero despejamos la derivada de mayor orden:

Definimos y₁=y, y₂=y′ y y₃=y″. El sistema equivalente es

En forma vectorial:

El orden de las componentes debe mantenerse de manera consistente. Intercambiar y′ y y″ cambia el modelo.

04 · Estado inicial completo

Los datos iniciales se convierten en un vector

Una ecuación de orden n necesita normalmente los valores de y y sus primeras n−1 derivadas en un mismo instante:

Después de la conversión, todos esos datos forman una sola condición vectorial:

Para el ejemplo anterior, si y(0)=1, y′(0)=0 y y″(0)=−1, entonces Y(0)=[1,0,−1]. La derivada inicial del estado se obtiene evaluando el sistema:

La tercera componente es sin(0)−2(−1)−2(0)−1=1.

05 · Dos direcciones de la correspondencia

Por qué ambas formulaciones son equivalentes

Si y(t) resuelve la ecuación escalar, entonces el vector formado por sus derivadas satisface todas las ecuaciones del sistema por construcción.

En la dirección inversa, si Y(t)=[y₁,…,yn] resuelve el sistema, las relaciones y₁′=y₂, y₂′=y₃, etc. implican

La última ecuación garantiza que y₁ satisface la EDO original. Así, recuperar la solución escalar consiste simplemente en tomar la primera componente.

06 · Matriz compañera

Las ecuaciones lineales producen un sistema matricial

Para la ecuación monómica

la forma de estado es Y′=AY+B g(t), con

Esta estructura se llama forma compañera. Los unos de la superdiagonal desplazan la cadena de derivadas y la última fila contiene los coeficientes de la ecuación con signo opuesto.

Para y‴+2y″+2y′+y=sin(t):

07 · Antes de convertir

Hay que despejar la derivada de mayor orden

Si el coeficiente principal no es uno, se divide primero. Por ejemplo:

Con Y=[y,y′,y″],

Olvidar dividir todos los términos cambia las escalas y genera un sistema incorrecto. En una forma implícita donde no puede despejarse la derivada superior, puede ser necesario trabajar con una ecuación diferencial algebraica, que excede la conversión directa de este tema.

08 · Un algoritmo para todos los órdenes

Los métodos vectoriales solo ven Y′=F(t,Y)

Una vez realizada la conversión, Euler, punto medio o Runge–Kutta operan componente por componente. Para Euler:

En el ejemplo de tercer orden, un paso actualiza simultáneamente y, y′ y y″. Usar valores ya actualizados para calcular otras componentes dentro del mismo paso produciría un método diferente y dependiente del orden del código.

La interfaz del integrador no necesita conocer el orden original. Solo recibe una función que devuelve un vector con la misma dimensión que el estado.

09 · Representar el modelo con claridad

Índices, nombres y metadatos evitan errores silenciosos

En un arreglo como [y,dy,d2y], la posición de cada elemento forma parte del contrato. Para sistemas grandes conviene documentar o centralizar ese esquema.

Al almacenar una trayectoria, cada muestra debería incluir el tiempo y una copia del estado. Guardar repetidamente la misma referencia mutable haría que todas las muestras terminaran mostrando el último valor.

También es útil conservar unidades, nombres de componentes y parámetros junto al modelo para graficar y validar los resultados correctamente.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: una ecuación de tercer orden como estado

Simulá y‴+2y″+2y′+y=F sin(t). Los tres paneles muestran las componentes del estado calculadas juntas con Runge–Kutta de cuarto orden.

Cada panel usa su propia escala vertical porque y, y′ e y″ tienen unidades y rangos diferentes.

Preguntas para explorar

1. Cambiá solo y″(0). ¿Cómo afecta inicialmente a y′ y luego a y?
2. Fijá los tres datos iniciales en cero y usá F>0. ¿Qué componente comienza cambiando primero?
3. Fijá F=0. ¿Cómo decae la respuesta libre?
4. Compará las escalas de los tres paneles. ¿Por qué no conviene superponerlos sin ejes separados?

11 · Representación en código

Construir y resolver el sistema vectorial

Crear la función de estado de tercer orden

function crearSistemaTercerOrden(forzamiento) {
  return function sistema(t, estado) {
    if (estado.length !== 3) throw new RangeError("Se esperaban 3 componentes");
    const [y, dy, d2y] = estado;
    const d3y = forzamiento(t) - 2 * d2y - 2 * dy - y;
    return [dy, d2y, d3y];
  };
}

const sistema = crearSistemaTercerOrden(t => Math.sin(t));
console.log(sistema(0, [1, 0, -1]));

Un paso RK4 para cualquier dimensión

const combinar = (a, b, factor) =>
  a.map((valor, i) => valor + factor * b[i]);

function pasoRK4(f, t, estado, h) {
  const k1 = f(t, estado);
  const k2 = f(t + h / 2, combinar(estado, k1, h / 2));
  const k3 = f(t + h / 2, combinar(estado, k2, h / 2));
  const k4 = f(t + h, combinar(estado, k3, h));
  return estado.map((valor, i) =>
    valor + h * (k1[i] + 2 * k2[i] + 2 * k3[i] + k4[i]) / 6
  );
}

console.log(pasoRK4(sistema, 0, [1, 0, -1], 0.1));

Guardar una trayectoria sin compartir referencias

function integrar(f, t0, estado0, h, pasos) {
  let t = t0;
  let estado = [...estado0];
  const trayectoria = [{ t, estado: [...estado] }];

  for (let i = 0; i < pasos; i++) {
    estado = pasoRK4(f, t, estado, h);
    t += h;
    trayectoria.push({ t, estado: [...estado] });
  }
  return trayectoria;
}

const trayectoria = integrar(sistema, 0, [1, 0, -1], 0.05, 200);
console.log(trayectoria.at(-1));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: segundo orden

Convertí y″+4y′+3y=0 en un sistema de primer orden.

Ejercicio 2: cuarto orden

Convertí y⁽⁴⁾=t−y″.

Ejercicio 3: condiciones iniciales

Escribí el vector inicial para y⁽⁴⁾+y=0 si y(2)=1, y′(2)=−1, y″(2)=0, y‴(2)=3.

Ejercicio 4: normalizar

Convertí 3y‴+6y′=9et.

Ejercicio 5: matriz compañera

Escribí la matriz A para y‴+4y″+5y′+2y=0.

Ejercicio 6: recuperar la ecuación

¿Qué ecuación escalar representa Y′=[y₂,y₃,−6y₁−11y₂−6y₃]?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el siguiente tema ampliaremos la mirada hacia sistemas que nacen con varias variables acopladas, sin proceder necesariamente de una sola ecuación escalar.