Sistemas de ecuaciones diferenciales

01 · Varias cantidades, una evolución

Un sistema describe componentes que cambian juntas

Muchos fenómenos no pueden representarse con una sola variable. Dos poblaciones interactúan, varias sustancias se transfieren entre depósitos o las corrientes de un circuito se condicionan mutuamente. Para dos variables, una forma general es

Las funciones f y g determinan simultáneamente la velocidad de cada componente. El estado completo es el par

No resolvemos dos problemas aislados: buscamos una trayectoria vectorial cuyas componentes satisfagan todas las ecuaciones al mismo tiempo.

02 · Dependencia entre componentes

Acoplado no significa simplemente “escrito junto”

Un sistema está acoplado cuando la evolución de alguna variable depende de otra. Compare:

El acoplamiento puede ser unilateral: x′ depende solo de x, mientras y′ depende de ambas. En ese caso se resuelve primero x y luego se utiliza su resultado en la ecuación de y.

También puede ser no lineal, como x′=xy. La presencia de varias variables no implica linealidad.

03 · Compactar sin perder información

La forma vectorial reúne todas las ecuaciones

Para n componentes definimos

y agrupamos sus leyes en una función vectorial:

La igualdad vectorial representa n igualdades escalares. La función F recibe un tiempo y un punto del espacio de estados, y devuelve el vector velocidad en ese punto.

04 · Sistemas lineales

Una matriz codifica las interacciones lineales

Un sistema lineal de primer orden puede escribirse como

Si A es constante y b=0, el sistema es lineal homogéneo autónomo:

Para

la matriz es

Las entradas diagonales describen el efecto propio de cada variable. Las entradas fuera de la diagonal describen el acoplamiento. Si ambas son cero, las componentes quedan desacopladas.

05 · Ejemplo de modelado

Intercambio entre dos compartimentos

Sean x(t) e y(t) las cantidades de una sustancia en dos compartimentos. Una fracción α de x pasa por unidad de tiempo al segundo, y una fracción β de y regresa al primero.

En forma matricial:

Cada transferencia aparece dos veces con signos opuestos: lo que sale de un compartimento entra en el otro. Al sumar las ecuaciones:

La cantidad total M=x+y se conserva. Esta comprobación surge del balance físico y debe cumplirse también en una implementación numérica.

06 · Reducir usando una conservación

El total constante permite resolver el sistema

Como y=M−x, sustituimos en la primera ecuación:

Esta ecuación lineal de primer orden tiene equilibrio

y la solución

El total determina sobre qué recta se mueve el estado y las tasas determinan cómo se reparte en el equilibrio. Una tasa mayor de x hacia y aumenta la proporción final almacenada en y.

07 · Condición inicial vectorial

Un sistema necesita todas sus componentes iniciales

El problema de valor inicial adopta la forma

Para dos variables, X₀=[x₀,y₀]. Especificar solo x₀ suele ser insuficiente porque x′(t₀)=f(t₀,x₀,y₀) puede depender de y₀.

Si F es continua y localmente Lipschitz respecto de X, existe una única solución local. La condición de Lipschitz se aplica simultáneamente a todas las componentes.

En un programa, el orden de X₀ debe coincidir con el orden esperado por F. El arreglo [x₀,y₀] no es intercambiable con [y₀,x₀].

08 · Estados que no cambian

Un equilibrio anula todas las derivadas

Para un sistema autónomo X′=F(X), un equilibrio X* satisface

Es necesario resolver todas las ecuaciones simultáneamente. Que x′=0 no basta si y′≠0.

En el modelo de intercambio, las condiciones son equivalentes:

No hay un único equilibrio aislado: cualquier par no negativo con flujos balanceados lo es. Al fijar el total M, la conservación selecciona exactamente uno.

09 · Avanzar todas las variables juntas

Un paso numérico debe usar el mismo estado base

Euler aplicado a un sistema es

Primero se calculan todas las derivadas desde el estado viejo y luego se actualizan todas las componentes. Si se modifica x antes de calcular la derivada de y, se mezcla información de dos instantes y el resultado depende del orden de las instrucciones.

Los métodos Runge–Kutta también evalúan vectores completos en estados intermedios. La dimensión aumenta el costo de cada evaluación, pero no cambia la estructura esencial del algoritmo.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: intercambio y conservación

Modificá las tasas y las cantidades iniciales. Las curvas muestran cómo ambas componentes se aproximan a su reparto de equilibrio mientras el total permanece constante.

La línea gris representa el total constante; las líneas discontinuas indican las cantidades de equilibrio.

Preguntas para explorar

1. Intercambiá α y β. ¿Cómo cambia el reparto final?
2. Duplicá ambas tasas conservando su cociente. ¿Cambia el equilibrio o solo la rapidez?
3. Elegí el estado inicial igual al equilibrio. ¿Qué muestran las derivadas?
4. Cambiá el total inicial manteniendo las tasas. ¿Qué proporciones finales se conservan?

11 · Representación en código

Implementar variables acopladas

Definir el campo vectorial

function crearIntercambio(alpha, beta) {
  if (!(alpha >= 0 && beta >= 0)) {
    throw new RangeError("Las tasas no pueden ser negativas");
  }
  return function derivada(t, [x, y]) {
    const flujoXY = alpha * x;
    const flujoYX = beta * y;
    return [-flujoXY + flujoYX, flujoXY - flujoYX];
  };
}

const sistema = crearIntercambio(0.6, 0.3);
console.log(sistema(0, [80, 20]));

Dar un paso de Euler simultáneo

const sistema = (t, [x, y]) => [
  -0.6 * x + 0.3 * y,
  0.6 * x - 0.3 * y
];

function pasoEuler(f, t, estado, h) {
  const derivada = f(t, estado);
  if (derivada.length !== estado.length) {
    throw new RangeError("Dimensión incompatible");
  }
  return estado.map((valor, i) => valor + h * derivada[i]);
}

const estado0 = [80, 20];
const estado1 = pasoEuler(sistema, 0, estado0, 0.1);
console.log(estado0);
console.log(estado1);

Verificar la conservación durante una simulación

const sistema = (t, [x, y]) => [
  -0.6 * x + 0.3 * y,
  0.6 * x - 0.3 * y
];

function pasoEuler(f, t, estado, h) {
  const derivada = f(t, estado);
  return estado.map((valor, i) => valor + h * derivada[i]);
}

function total([x, y]) {
  return x + y;
}

let t = 0;
let estado = [80, 20];
const totalInicial = total(estado);
let errorMaximo = 0;

for (let i = 0; i < 100; i++) {
  estado = pasoEuler(sistema, t, estado, 0.05);
  t += 0.05;
  errorMaximo = Math.max(errorMaximo, Math.abs(total(estado) - totalInicial));
}

console.log(estado, errorMaximo);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: detectar acoplamiento

Clasificá x′=2x, y′=x−y como desacoplado, unilateral o mutuamente acoplado.

Ejercicio 2: forma matricial

Escribí x′=3x−2y, y′=5x+y como X′=AX.

Ejercicio 3: derivada inicial

Para el sistema anterior y X(0)=[2,−1], calculá X′(0).

Ejercicio 4: equilibrio

Encontrá los equilibrios de x′=x−y, y′=2x−2y.

Ejercicio 5: conservación

Mostrá que x−y se conserva en x′=x+y, y′=x+y.

Ejercicio 6: equilibrio de intercambio

Si α=0,2, β=0,8 y el total es 50, calculá el reparto de equilibrio.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el siguiente tema aprenderemos a visualizar sistemas autónomos mediante el plano de fase, campos vectoriales, nulclinas y equilibrios.