Plano de fase, nulclinas y equilibrios

01 · Cambiar la mirada

Del tiempo en el eje horizontal al estado completo

Para un sistema autónomo

podemos graficar x(t) e y(t) contra el tiempo. El plano de fase ofrece otra perspectiva: cada punto representa el estado (x,y), y la solución dibuja la curva

El tiempo ya no aparece como eje, sino como el parámetro que indica cómo se recorre la trayectoria. Las flechas muestran el sentido de avance.

02 · Una flecha en cada estado

El campo vectorial indica velocidad y dirección

En cada punto (x,y), el sistema asigna el vector

Su componente horizontal es x′ y la vertical es y′. Los signos permiten una lectura inmediata:

La longitud del vector representa rapidez en el espacio de estados. En visualizaciones se suelen normalizar las flechas para que las zonas rápidas no oculten las lentas; esa decisión conserva la dirección, pero no la magnitud.

03 · Curvas tangentes al campo

Una condición inicial selecciona una trayectoria

Si X(0)=(x₀,y₀), la solución parte de ese punto y su tangente coincide siempre con el campo:

Cuando x′≠0, puede eliminarse localmente el tiempo:

Esta ecuación describe la pendiente geométrica de la trayectoria, pero pierde información sobre la rapidez y falla donde x′=0. El sistema original sigue siendo la descripción completa.

Bajo condiciones de unicidad, dos trayectorias distintas no pueden cruzarse en el mismo punto: ese estado tendría dos futuros diferentes. Pueden acercarse, coincidir como una misma órbita recorrida con otro origen temporal o proyectarse de forma que parezcan cruzarse.

04 · Donde una componente se detiene

Las nulclinas dividen el plano en regiones

La nulclina de x es el conjunto donde

Sobre ella, el campo es vertical: x se detiene instantáneamente, aunque y puede seguir cambiando. La nulclina de y satisface

y allí el campo es horizontal. Las nulclinas separan regiones donde cambia el signo de cada derivada. Con una muestra de prueba por región puede construirse un mapa cualitativo sin resolver el sistema.

05 · Intersecciones especiales

Los equilibrios están donde se anulan ambas componentes

Un punto (x*,y*) es equilibrio cuando

Es decir, se encuentra en la intersección de una nulclina de x y una de y. La solución que comienza allí es constante.

Resolver solamente f=0 produce una nulclina, no necesariamente equilibrios. También hay que comprobar g=0. Un sistema puede tener ningún equilibrio, uno, varios, una curva completa o regiones enteras de equilibrios.

06 · Ejemplo no lineal

Dos variables con crecimiento y competencia simétrica

Consideremos, en el primer cuadrante,

Los términos x(1−x) e y(1−y) representan crecimiento logístico individual. El parámetro a≥0 mide cuánto reduce cada variable el crecimiento de la otra.

Las nulclinas son:

Para a≠1, las intersecciones son

Cuando a=1, las dos nulclinas oblicuas coinciden y todo punto del segmento x+y=1 es equilibrio.

07 · Leer sin resolver

Las desigualdades indican hacia dónde apunta el campo

En el interior del primer cuadrante, x>0 e y>0, por lo que los signos dependen de los factores entre paréntesis:

Debajo de la nulclina oblicua de x, la componente horizontal apunta a la derecha; por encima, a la izquierda. Debajo de la nulclina de y, la componente vertical apunta hacia arriba; por encima, hacia abajo.

Los ejes también son invariantes: si x=0, entonces x′=0, y si y=0, entonces y′=0. Una solución que comienza con componentes no negativas no cruza hacia valores negativos.

08 · Lo que el plano muestra y oculta

Una órbita no informa por sí sola la velocidad temporal

Multiplicar todo el campo por una función positiva cambia la rapidez, pero conserva las direcciones y, en muchos casos, las mismas curvas geométricas. Dos sistemas pueden compartir retratos de fase y recorrerlos con cronologías diferentes.

Por eso las series temporales y el plano de fase se complementan. Una visualización robusta permite relacionar puntos del plano con instantes de la simulación.

09 · Del campo al retrato

Cómo construir un plano de fase computacional

1. 1
   Elegir una región.

   Debe respetar el dominio físico y contener los estados relevantes.

2. 2
   Muestrear el campo.

   Evaluar F(x,y) sobre una malla y dibujar flechas escaladas.

3. 3
   Calcular nulclinas.

   Resolver o aproximar los ceros de cada componente.

4. 4
   Marcar equilibrios.

   Comprobar las intersecciones en el sistema completo.

5. 5
   Integrar condiciones iniciales.

   Trazar varias trayectorias hacia adelante y, cuando sea válido, hacia atrás.

6. 6
   Agregar sentido y escala.

   Sin flechas ni etiquetas, una curva puede interpretarse al revés.

Normalizar todas las flechas al mismo tamaño mejora la legibilidad, pero conviene conservar alguna codificación de magnitud mediante color, opacidad o una leyenda.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: nulclinas y trayectoria de competencia

Modificá el acoplamiento y la condición inicial. El campo indica la dirección local, las líneas discontinuas son las nulclinas oblicuas y la curva dorada es la trayectoria seleccionada.

Los círculos marcan equilibrios. Las flechas están normalizadas para enfatizar dirección y no rapidez.

Preguntas para explorar

1. Con a<1, iniciá la trayectoria desde distintos puntos interiores. ¿Hacia dónde parece dirigirse?
2. Fijá a=1. ¿Qué ocurre con las dos nulclinas oblicuas?
3. Usá a>1 y condiciones iniciales a ambos lados de la diagonal. ¿Cambian los destinos?
4. Colocá el estado inicial cerca de una nulclina. ¿Qué componente cambia lentamente al comienzo?

11 · Representación en código

Calcular un retrato de fase

Definir el campo y localizar equilibrios

function crearCompetencia(a) {
  return function campo([x, y]) {
    return [
      x * (1 - x - a * y),
      y * (1 - y - a * x)
    ];
  };
}

function equilibrios(a, tolerancia = 1e-12) {
  const bordes = [[0, 0], [1, 0], [0, 1]];
  if (Math.abs(a - 1) < tolerancia) {
    return { puntos: bordes, continuo: "x + y = 1" };
  }
  const interior = 1 / (1 + a);
  return { puntos: [...bordes, [interior, interior]] };
}

console.log(equilibrios(0.5));

Muestrear flechas normalizadas

function crearCompetencia(a) {
  return ([x, y]) => [
    x * (1 - x - a * y),
    y * (1 - y - a * x)
  ];
}

function muestrearCampo(campo, valoresX, valoresY) {
  return valoresY.flatMap(y => valoresX.map(x => {
    const [dx, dy] = campo([x, y]);
    const norma = Math.hypot(dx, dy);
    return {
      x, y,
      direccion: norma === 0 ? [0, 0] : [dx / norma, dy / norma],
      rapidez: norma
    };
  }));
}

const campo = crearCompetencia(0.5);
console.log(muestrearCampo(campo, [0.25, 0.75], [0.25, 0.75]));

Integrar una trayectoria con RK4

const campo = ([x, y]) => [
  x * (1 - x - 0.5 * y),
  y * (1 - y - 0.5 * x)
];

const combinar = (a, b, factor) =>
  a.map((valor, i) => valor + factor * b[i]);

function pasoRK4(campo, estado, h) {
  const k1 = campo(estado);
  const k2 = campo(combinar(estado, k1, h / 2));
  const k3 = campo(combinar(estado, k2, h / 2));
  const k4 = campo(combinar(estado, k3, h));
  return estado.map((valor, i) =>
    valor + h * (k1[i] + 2 * k2[i] + 2 * k3[i] + k4[i]) / 6
  );
}

let estado = [0.2, 1.2];
for (let i = 0; i < 400; i++) estado = pasoRK4(campo, estado, 0.05);
console.log(estado);

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: dirección local

Para x′=x−y, y′=x+y, calculá el vector en (2,1).

Ejercicio 2: nulclinas lineales

Encontrá las nulclinas del sistema anterior.

Ejercicio 3: equilibrio

Encontrá los equilibrios del mismo sistema.

Ejercicio 4: pendiente de trayectoria

Escribí dy/dx para x′=x−y, y′=x+y donde sea posible.

Ejercicio 5: nulclinas no lineales

Encontrá las nulclinas de x′=x(2−y), y′=y(x−1).

Ejercicio 6: equilibrios no lineales

Usá las nulclinas del ejercicio anterior para encontrar los equilibrios.

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema clasificaremos el comportamiento cerca de los equilibrios mediante estabilidad, linealización y autovalores.