Estabilidad y linealización

01 · Qué ocurre ante una perturbación

Estabilidad no significa permanecer inmóvil

Sea X* un equilibrio de X′=F(X). La solución que comienza exactamente allí permanece constante. La estabilidad pregunta qué sucede cuando el estado inicial está cerca, pero no exactamente en el equilibrio.

Un centro ideal es estable pero no asintóticamente estable: las órbitas cercanas permanecen cerca sin converger. Un atractor es asintóticamente estable; un repulsor es inestable.

02 · Definición precisa

Controlar la distancia durante todo el futuro

El equilibrio X* es estable en el sentido de Lyapunov si para todo radio permitido ε>0 existe un radio inicial δ>0 tal que

Es asintóticamente estable si además

La primera condición impide excursiones grandes; la segunda exige convergencia. Una trayectoria que primero se aleja mucho y luego vuelve no demuestra estabilidad para tolerancias pequeñas.

La estabilidad puede ser local —solo para estados suficientemente próximos— o global —para todo estado de un dominio relevante—. La linealización que estudiaremos proporciona, en general, información local.

03 · El caso que organiza la teoría

Los autovalores determinan los modos de un sistema lineal

Para el sistema autónomo lineal

buscamos soluciones de la forma X(t)=veλt. Al sustituir:

Así, λ es un autovalor y v un autovector. Cada par genera un modo cuya dirección es v y cuya magnitud cambia como eλt.

Si todos los autovalores tienen parte real negativa, el origen es asintóticamente estable. Si alguno tiene parte real positiva, es inestable.

04 · Clasificar matrices 2×2

Traza, determinante y discriminante resumen los autovalores

Para

el polinomio característico es

donde

El discriminante es Δ=τ²−4D. Por tanto,

05 · Direcciones reales del mismo signo

Los nodos atraen o repelen sin girar

Si hay dos autovalores reales negativos, cada modo decae y el equilibrio es un nodo atractor. Las trayectorias se acercan alineándose finalmente con el autovector asociado al autovalor de menor magnitud absoluta, es decir, el modo más lento.

Si ambos autovalores son positivos, los modos crecen y se obtiene un nodo repulsor. Hacia atrás en el tiempo, los papeles de atracción y repulsión se invierten.

Cuando el autovalor es repetido, la geometría depende también de cuántos autovectores independientes existan. Puede aparecer un nodo propio con muchas direcciones o un nodo impropio con un término teλt.

06 · Atracción y repulsión simultáneas

Una silla siempre es inestable

Si D<0, los autovalores reales tienen signos opuestos. Una dirección decae y otra crece:

La recta asociada al autovalor negativo es la dirección estable: los estados que comienzan exactamente allí se acercan al origen. La dirección del autovalor positivo es inestable.

Aunque algunas trayectorias converjan, el equilibrio es inestable porque una perturbación con cualquier componente en la dirección creciente termina alejándose. En sistemas no lineales, estas direcciones se generalizan a variedades estable e inestable.

07 · Autovalores complejos

La parte imaginaria gira; la real cambia el radio

Si λ=α±βi, las soluciones combinan seno, coseno y una envolvente eαt.

El signo de β en una representación concreta se relaciona con el sentido de giro, pero los autovalores aparecen como par conjugado y no bastan por sí solos para distinguir horario de antihorario. Hay que observar la matriz o evaluar el campo en un punto.

08 · Aproximar un sistema no lineal

El jacobiano captura la dinámica de primer orden

Sea X′=F(X) y X* un equilibrio. Escribimos una perturbación U=X−X*. La expansión de Taylor da

donde el jacobiano es

Cerca del equilibrio, el sistema lineal U′=J(X*)U aproxima al original. Si ningún autovalor del jacobiano tiene parte real cero —equilibrio hiperbólico—, el tipo de estabilidad local coincide con el de la linealización.

Ejemplo: para x′=x−x³, los equilibrios son −1,0,1. La derivada f′(x)=1−3x² vale 1 en cero y −2 en ±1. Por ello, cero es localmente repulsor y ±1 son atractores.

09 · Cuando el método no decide

Autovalores con parte real cero requieren más información

Si la linealización tiene un autovalor con parte real cero, los términos no lineales pueden decidir el comportamiento. Compare los sistemas escalares

Ambos tienen equilibrio en cero y derivada lineal f′(0)=0. Sin embargo, el primero atrae desde ambos lados y el segundo repele. La linealización es inconclusa.

También un centro lineal puede transformarse en una espiral débil bajo términos no lineales. En estos casos se recurre a funciones de Lyapunov, análisis de términos dominantes, invariantes o resultados específicos.

1. 1
   Encontrar el equilibrio.

   Resolver todas las componentes de F(X)=0.

2. 2
   Calcular el jacobiano.

   Derivar antes de sustituir el punto.

3. 3
   Evaluar y hallar autovalores.

   Usar traza y determinante en dimensión dos.

4. 4
   Comprobar hiperbolicidad.

   Si alguna parte real es cero, no concluir solo con la linealización.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: retratos lineales y autovalores

Elegí un tipo de matriz y una condición inicial. El campo, la trayectoria y los invariantes algebraicos permiten relacionar autovalores con geometría.

Las flechas se normalizan para mostrar dirección. La curva dorada representa la evolución hacia adelante desde el punto inicial.

Preguntas para explorar

1. Compará el nodo atractor y la espiral atractora. ¿Qué propiedad comparten sus autovalores?
2. En la silla, elegí estados sobre cada eje. ¿Qué dirección atrae y cuál repele?
3. Compará el centro con las espirales. ¿Qué cambia cuando la parte real pasa por cero?
4. Cambiá la condición inicial. ¿Se modifica la clasificación del equilibrio?

11 · Representación en código

Clasificar y linealizar computacionalmente

Clasificar una matriz real 2×2

function clasificarMatriz([[a, b], [c, d]], tolerancia = 1e-10) {
  const traza = a + d;
  const determinante = a * d - b * c;
  const discriminante = traza ** 2 - 4 * determinante;

  if (determinante < -tolerancia) return "silla inestable";
  if (Math.abs(determinante) <= tolerancia) {
    return "caso no hiperbólico: hay un autovalor cero";
  }
  if (discriminante > tolerancia) {
    return traza < 0 ? "nodo atractor" : "nodo repulsor";
  }
  if (discriminante < -tolerancia) {
    if (traza < -tolerancia) return "espiral atractora";
    if (traza > tolerancia) return "espiral repulsora";
    return "centro lineal";
  }
  return "caso degenerado: analizar autovectores";
}

console.log(clasificarMatriz([[-0.3, -1], [1, -0.3]]));

Calcular autovalores de una matriz 2×2

function autovalores2x2([[a, b], [c, d]]) {
  const traza = a + d;
  const determinante = a * d - b * c;
  const delta = traza ** 2 - 4 * determinante;

  if (delta >= 0) {
    const raiz = Math.sqrt(delta);
    return [{ real: (traza + raiz) / 2, imag: 0 }, { real: (traza - raiz) / 2, imag: 0 }];
  }
  return [
    { real: traza / 2, imag: Math.sqrt(-delta) / 2 },
    { real: traza / 2, imag: -Math.sqrt(-delta) / 2 }
  ];
}

console.log(autovalores2x2([[-0.3, -1], [1, -0.3]]));

Aproximar numéricamente un jacobiano

function jacobianoNumerico(campo, punto, h = 1e-5) {
  const dimension = punto.length;
  return Array.from({ length: dimension }, (_, fila) =>
    Array.from({ length: dimension }, (_, columna) => {
      const adelante = [...punto];
      const atras = [...punto];
      adelante[columna] += h;
      atras[columna] -= h;
      return (campo(adelante)[fila] - campo(atras)[fila]) / (2 * h);
    })
  );
}

const campo = ([x, y]) => [x - x ** 3 - y, x + y - y ** 3];
console.log(jacobianoNumerico(campo, [0, 0]));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: nodo atractor

Clasificá X′=AX para A=[−1 0; 0 −3].

Ejercicio 2: silla

Clasificá A=[2 0; 0 −4].

Ejercicio 3: espiral

Clasificá A=[−1 −2; 2 −1].

Ejercicio 4: usar traza y determinante

Una matriz tiene τ=4, D=13. Clasificá el equilibrio.

Ejercicio 5: linealizar

Para x′=x(1−x), encontrá y clasificá los equilibrios mediante la derivada.

Ejercicio 6: caso inconcluso

¿Qué concluye la linealización sobre x′=−x⁵ en cero?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el siguiente tema aplicaremos campos de fase, equilibrios y estabilidad al modelo no lineal depredador–presa de Lotka–Volterra.