De una ecuación continua a pasos discretos

01 · Dos representaciones del tiempo

La ecuación habla de todos los instantes; la computadora usa una lista

Un problema de valor inicial

define una función continua, al menos idealmente, para todos los tiempos de un intervalo. Una simulación no puede almacenar infinitos valores. Elige instantes concretos

y calcula aproximaciones y₀,y₁,…,yN al estado verdadero en esos puntos.

02 · La malla temporal

Un paso h separa instantes consecutivos

En una malla uniforme:

El número h>0 es el tamaño de paso. Cada intervalo cumple tn+1−tn=h. Si se integra hacia atrás, puede usarse un paso con signo negativo o una convención explícita para la dirección.

Un error común es confundir pasos con puntos: diez intervalos contienen once nodos.

03 · Cuando el intervalo no es múltiplo de h

El último paso puede necesitar una longitud menor

Si (tf−t₀)/h no es entero, repetir ciegamente el paso puede terminar antes o después del instante solicitado. Por ejemplo, desde 0 hasta 5 con h=0,6:

El valor 5 no pertenece a esa malla regular. Una estrategia común es acortar solamente el último paso:

Así se avanza de 4,8 a 5 con un paso de 0,2. Otra posibilidad es ajustar N y usar h=(tf−t₀)/N para obtener una malla exactamente uniforme.

04 · Qué significa y_n

Una muestra exacta y una aproximación no son lo mismo

La notación yn suele representar una aproximación numérica:

Si conocemos la solución exacta y solo la evaluamos en la malla, obtenemos muestras exactas en puntos discretos. Todavía no hay error de integración. En cambio, un método numérico construye yn+1 a partir de información disponible en pasos anteriores y acumula error.

Distinguir ambos procesos es esencial al validar: una curva exacta muestreada puede servir como referencia para medir el error del integrador.

05 · Información para avanzar

La derivada describe el cambio local, no el paso completo

En el nodo (tn,yn), la ecuación proporciona

que tiene unidades de estado dividido por tiempo. Multiplicar por un paso produce una estimación de cambio con las unidades correctas:

Sin embargo, la pendiente puede variar dentro del intervalo. Los métodos numéricos se diferencian por cómo representan esa variación: una pendiente al inicio, una pendiente corregida, varias evaluaciones ponderadas o aproximaciones implícitas.

El próximo tema derivará el método de Euler, la regla más directa basada en la pendiente inicial.

06 · Resolución temporal

Elegir h es una decisión de precisión, costo y estabilidad

Reducir h aumenta la cantidad de pasos y suele disminuir el error de truncamiento, pero exige más evaluaciones y más almacenamiento si se guardan todos los nodos.

La escala visible del gráfico no basta para elegir h. Un estado puede parecer suave mientras contiene componentes rápidas o restricciones de estabilidad.

07 · Una interfaz general

Separar modelo, método y recorrido temporal

Una simulación de un paso puede representarse abstractamente como

La función f describe el modelo. La regla Φ describe el método numérico. El bucle decide los tiempos, llama al método y almacena resultados.

Esta separación permite cambiar Euler por Runge–Kutta sin reescribir el modelo, o reutilizar el mismo integrador con crecimiento, osciladores y sistemas epidemiológicos.

08 · El ciclo de simulación

Inicializar, registrar, avanzar y detener

1. 1
   Validar la entrada.

   Comprobar tiempos, paso, estado, parámetros y dimensión.

2. 2
   Inicializar.

   Asignar t=t₀, copiar y=y₀ y registrar la primera muestra.

3. 3
   Elegir h_n.

   Usar el paso nominal o acortarlo para no superar el final o un evento.

4. 4
   Calcular el nuevo estado.

   Llamar a la regla de un paso sin modificar prematuramente el estado viejo.

5. 5
   Actualizar y registrar.

   Avanzar el tiempo, guardar una copia del estado y calcular diagnósticos.

6. 6
   Comprobar parada.

   Finalizar por tiempo, evento, error, límite de pasos o estado inválido.

Siempre debe existir un límite máximo de iteraciones. Protege contra pasos inválidos, condiciones de parada imposibles y errores de redondeo que impidan alcanzar exactamente tf.

09 · Saber qué se está midiendo

Modelo, discretización y redondeo son fuentes distintas

Una simulación con paso muy pequeño puede ser precisa respecto de una ecuación equivocada. La validación numérica y la validación del modelo responden preguntas diferentes.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: muestrear una solución continua

La curva exacta es y(t)=e−λt. Modificá λ, el paso nominal y el final. Los puntos no son todavía una aproximación: son evaluaciones exactas sobre la malla construida.

El panel superior compara la curva continua con sus muestras. El inferior representa los intervalos temporales y resalta el último paso.

Preguntas para explorar

1. Reducí h. ¿Qué cambia en la curva exacta y qué cambia en la representación discreta?
2. Elegí h=0,6 y tf=5. ¿Cuánto mide el último paso?
3. Aumentá λ conservando h. ¿La malla resuelve igual de bien la zona de cambio rápido?
4. Comprobá la relación entre cantidad de pasos y cantidad de muestras.

11 · Representación en código

Construir una base segura para los integradores

Generar una malla con extremo exacto

function crearMalla(t0, tf, h) {
  if (![t0, tf, h].every(Number.isFinite) || !(tf >= t0) || !(h > 0)) {
    throw new RangeError("Intervalo o paso inválido");
  }
  const tiempos = [t0];
  const maxPasos = Math.ceil((tf - t0) / h) + 1;

  for (let n = 0; n < maxPasos && tiempos.at(-1) < tf; n++) {
    const siguiente = Math.min(t0 + (n + 1) * h, tf);
    tiempos.push(siguiente);
  }
  return tiempos;
}

console.log(crearMalla(0, 5, 0.6));

Crear muestras exactas con estructura explícita

function crearMalla(t0, tf, h) {
  const tiempos = [t0];
  while (tiempos.at(-1) < tf) {
    tiempos.push(Math.min(tiempos.at(-1) + h, tf));
  }
  return tiempos;
}

const exacta = t => Math.exp(-0.7 * t);
const muestras = crearMalla(0, 5, 0.6).map((t, indice) => ({
  indice,
  t,
  y: exacta(t)
}));

for (const muestra of muestras) {
  console.log(muestra);
}

Separar el bucle de la regla de avance

function simular({ modelo, avanzar, t0, tf, estado0, h }) {
  let t = t0;
  let estado = structuredClone(estado0);
  const trayectoria = [{ t, estado: structuredClone(estado) }];
  const maxPasos = Math.ceil((tf - t0) / h) + 1;

  for (let n = 0; n < maxPasos && t < tf; n++) {
    const pasoActual = Math.min(h, tf - t);
    estado = avanzar(modelo, t, estado, pasoActual);
    t = Math.min(tf, t + pasoActual);
    trayectoria.push({ t, estado: structuredClone(estado) });
  }
  return trayectoria;
}

const modelo = (t, y) => -0.7 * y;
const avanceExacto = (f, t, y, h) => y * Math.exp(-0.7 * h);
console.log(simular({ modelo, avanzar: avanceExacto, t0: 0, tf: 2, estado0: 1, h: 0.6 }));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: construir una malla

Listá los nodos desde t₀=1 hasta tf=3 con h=0,5.

Ejercicio 2: índice y tiempo

En una malla con t₀=2 y h=0,25, calculá t₇.

Ejercicio 3: contar pasos

¿Cuántos pasos uniformes hay entre 0 y 12 con h=0,2?

Ejercicio 4: extremo no divisible

Desde 0 hasta 2 con h=0,3, calculá la longitud del último paso si debe alcanzarse exactamente 2.

Ejercicio 5: unidades

Si y se mide en metros, t en segundos y f=y′, ¿qué unidades tienen f y hf?

Ejercicio 6: distinguir errores

Una simulación converge al reducir h, pero no coincide con los datos observados. ¿Qué debería investigarse?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema derivaremos e implementaremos la primera regla de avance: el método de Euler.