Modelos epidemiológicos SIR

01 · Dividir una población por estado

Tres compartimentos y dos flujos

El modelo SIR agrupa una población cerrada en tres cantidades dependientes del tiempo:

Los individuos pasan de S a I por infección y de I a R por recuperación o retiro:

02 · Construir los balances

La misma transferencia sale de un compartimento y entra en otro

Usaremos fracciones de una población total normalizada, de modo que S+I+R=1. Las ecuaciones son

El término βSI supone mezcla homogénea: la frecuencia de contactos efectivos es proporcional a la fracción susceptible y a la infectada.

03 · Población cerrada

La suma de los compartimentos se conserva

Al sumar las tres ecuaciones:

Por tanto, si S₀+I₀+R₀=1, esa igualdad se mantiene. Cada flujo interno aparece una vez como salida y otra como entrada.

Además, el simplex

es invariante. Sobre S=0, S′=0; sobre I=0, I′=0; y R′≥0. Una solución biológicamente válida permanece dentro de la región.

04 · Umbral de crecimiento

R₀ compara transmisión y recuperación

En una población completamente susceptible, el número reproductivo básico del SIR normalizado es

Representa la cantidad media de infecciones secundarias generadas por un infectado al comienzo bajo los supuestos del modelo. Cuando solo una fracción S(t) es susceptible, el número reproductivo efectivo es

La ecuación de infectados puede factorizarse:

No debe confundirse el parámetro básico ℛ₀ con el compartimento inicial R(0); usan símbolos parecidos, pero representan conceptos diferentes.

05 · Primera aproximación

Al comienzo puede observarse crecimiento exponencial

Si la fracción susceptible cambia poco durante una etapa temprana, podemos aproximar S(t)≈S₀. Entonces

La tasa inicial de crecimiento es r=βS₀−γ. Si r>0, el tiempo de duplicación aproximado es

Esta aproximación deja de ser válida cuando S disminuye de manera apreciable o cambian los parámetros. Un tramo aproximadamente exponencial no implica que el crecimiento continúe sin límite.

06 · Cuándo dejan de aumentar los infectados

El pico ocurre al cruzar el umbral susceptible

Para una trayectoria con I>0, el máximo de I(t) ocurre cuando I′=0 y cambia de signo:

Antes del cruce, ℛe>1 e I aumenta. Después, ℛe<1 e I disminuye.

El umbral de inmunidad asociado es

en el modelo ideal con inmunidad perfecta y población homogénea. Es un umbral matemático para impedir crecimiento inicial, no una predicción universal ni una recomendación clínica.

07 · Estados sin infección activa

El SIR cerrado tiene una línea de equilibrios

Si I=0, las tres derivadas son cero. Por eso todo estado

es un equilibrio libre de infección. Su respuesta a introducir una pequeña cantidad infectada depende de S:

Si S<γ/β, la perturbación infectada decae; si S>γ/β, crece inicialmente. El modelo SIR básico sin nacimientos no tiene un equilibrio endémico con I*>0, porque R′=γI solo puede anularse si I=0.

08 · Más allá del pico

La epidemia deja susceptibles sin infectar

Dividiendo S′ por R′ cuando I>0:

Integramos desde el estado inicial:

Cuando t→∞, I→0 y R∞=1−S∞. Así, S∞ satisface la ecuación implícita

En general se resuelve numéricamente. El valor final susceptible es menor que el umbral del pico cuando hubo un brote: la transmisión continúa durante el descenso de I, fenómeno conocido como sobrepaso del umbral.

09 · Alcance del modelo

Los parámetros condensan muchos mecanismos

Los resultados dependen de la calidad de datos, la identificabilidad de parámetros y la adecuación de los supuestos. El SIR es una herramienta conceptual y de escenarios, no un sustituto de análisis epidemiológico específico.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: transmisión, recuperación e inmunidad inicial

La población total se normaliza a uno. Modificá β, γ, la fracción infectada y la fracción inicialmente retirada. La fracción susceptible se calcula como el resto.

El panel superior muestra S, I y R. El inferior muestra ℛₑ(t); su cruce con uno coincide con el pico de I.

Preguntas para explorar

1. Reducí β hasta que ℛₑ(0)<1. ¿Qué ocurre con I(t)?
2. Aumentá γ. ¿Cómo cambian altura y momento del pico?
3. Aumentá la fracción inicialmente retirada. ¿Qué diferencia hay entre ℛ₀ y ℛₑ(0)?
4. Observá S en el pico y al final. ¿Dónde aparece el sobrepaso?

11 · Representación en código

Simular y validar un modelo SIR

Construir el campo compartimental

function crearSIR(beta, gamma) {
  if (!(beta >= 0 && gamma > 0)) {
    throw new RangeError("Parámetros SIR inválidos");
  }
  return function derivada(t, [s, i, r]) {
    const infecciones = beta * s * i;
    const recuperaciones = gamma * i;
    return [-infecciones, infecciones - recuperaciones, recuperaciones];
  };
}

const sir = crearSIR(0.6, 0.2);
console.log(sir(0, [0.99, 0.01, 0]));

Integrar con RK4 y conservar los compartimentos

const sir = (t, [s, i, r]) => {
  const infecciones = 0.6 * s * i;
  const recuperaciones = 0.2 * i;
  return [-infecciones, infecciones - recuperaciones, recuperaciones];
};
const combinar = (a, b, factor) => a.map((valor, j) => valor + factor * b[j]);

function pasoRK4(f, t, estado, h) {
  const k1 = f(t, estado);
  const k2 = f(t + h / 2, combinar(estado, k1, h / 2));
  const k3 = f(t + h / 2, combinar(estado, k2, h / 2));
  const k4 = f(t + h, combinar(estado, k3, h));
  return estado.map((valor, j) =>
    valor + h * (k1[j] + 2 * k2[j] + 2 * k3[j] + k4[j]) / 6
  );
}

let estado = [0.99, 0.01, 0];
for (let paso = 0; paso < 2400; paso++) {
  estado = pasoRK4(sir, paso * 0.05, estado, 0.05);
}
console.log(estado, estado.reduce((suma, valor) => suma + valor, 0));

Extraer métricas de una trayectoria

function resumirSIR(trayectoria, beta, gamma) {
  const pico = trayectoria.reduce((mejor, punto) =>
    punto.estado[1] > mejor.estado[1] ? punto : mejor
  );
  const inicial = trayectoria[0].estado;
  const final = trayectoria.at(-1).estado;
  return {
    R0: beta / gamma,
    ReInicial: beta * inicial[0] / gamma,
    picoInfectado: pico.estado[1],
    tiempoPico: pico.t,
    susceptibleFinal: final[0]
  };
}

const trayectoria = [
  { t: 0, estado: [0.99, 0.01, 0] },
  { t: 10, estado: [0.70, 0.20, 0.10] },
  { t: 20, estado: [0.35, 0.30, 0.35] }
];
console.log(resumirSIR(trayectoria, 0.6, 0.2));

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: comprobar conservación

Demostrá que el SIR conserva S+I+R.

Ejercicio 2: número reproductivo

Calculá ℛ₀ si β=0,45/día y γ=0,15/día.

Ejercicio 3: crecimiento inicial

Con los parámetros anteriores y S₀=0,8, determiná si I crece inicialmente.

Ejercicio 4: umbral del pico

¿Qué valor de S corresponde al pico para ℛ₀=3?

Ejercicio 5: duración infecciosa

Si γ=0,2/día, ¿cuál es la duración infecciosa media del modelo?

Ejercicio 6: estado libre de infección

¿Es estable ante una pequeña introducción infectada el estado con S=0,25 si ℛ₀=3?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

En el siguiente tema pasaremos de ecuaciones continuas a pasos discretos y prepararemos la estructura general de una simulación numérica.