El problema inverso de la derivación

01 · La pregunta central

Conocemos el cambio, buscamos la función

Al derivar partimos de una función y calculamos su razón de cambio. Por ejemplo:

El cálculo integral comienza planteando la pregunta en la dirección contraria: si solamente conocemos f(x) = 2x, ¿qué función F tiene esa derivada?

Una respuesta es F(x) = x², porque su derivada es 2x. Pero x² + 5, x² − 8 y, en general, x² + C también sirven. El proceso inverso no recupera automáticamente una única función.

02 · Dos direcciones

Derivar y reconstruir

La derivación transforma una función F en una nueva función f = F′. El problema inverso intenta recorrer esa transformación hacia atrás.

03 · Información perdida

¿Por qué no hay una única respuesta?

La derivada de cualquier constante es cero. Por eso, al derivar, desaparece toda diferencia vertical entre funciones:

Si dos funciones tienen la misma derivada en un intervalo, su diferencia es constante en ese intervalo. Todas comparten la misma forma y las mismas pendientes; solo están desplazadas hacia arriba o hacia abajo.

04 · Pensar hacia atrás

Reconstruir con reglas conocidas

Al principio, resolveremos el problema inverso leyendo de derecha a izquierda las reglas de derivación ya conocidas.

Por ejemplo, si f(x) = 3x², reconocemos que la derivada de x³ es 3x². Por lo tanto, todas las soluciones tienen la forma F(x) = x³ + C.

En los próximos temas formalizaremos estas ideas con el concepto de antiderivada y aprenderemos reglas sistemáticas. Aquí importa comprender la pregunta y desarrollar el hábito de comprobar derivando.

05 · Ejemplo guiado

Reconstruir una función polinómica

Busquemos una función cuya derivada sea:

1. 01
   Separar mentalmente los términos.

   Buscamos qué funciones producen 6x², −4x y 3.

2. 02
   Reconstruir cada parte.

   2x³ produce 6x²; −2x² produce −4x; 3x produce 3.

3. 03
   Reunir una candidata.

   Obtenemos F(x) = 2x³ − 2x² + 3x.

4. 04
   Agregar la constante.

   La familia completa es F(x) = 2x³ − 2x² + 3x + C.

5. 05
   Verificar.

   Al derivar, recuperamos exactamente 6x² − 4x + 3.

La comprobación final no es decorativa: permite detectar coeficientes olvidados, signos incorrectos y términos agregados por error.

06 · Elegir una solución

Un dato extra determina la constante

La razón de cambio fija la forma de la curva, pero no su altura. Para seleccionar una integrante de la familia necesitamos un valor adicional.

Supongamos que F′(x) = 2x y además sabemos que F(1) = 5. Primero obtenemos la familia:

Luego usamos el dato conocido: 5 = 1² + C. De allí resulta C = 4, y la función particular es F(x) = x² + 4.

07 · Lectura en contexto

Del cambio acumulado al estado

El problema inverso aparece cada vez que un sistema registra cambios, pero necesitamos conocer el estado que los produjo:

Movimiento

La velocidad describe cómo cambia la posición; una posición inicial permite reconstruir la trayectoria.

Memoria utilizada

Una tasa de asignación y liberación describe el cambio; el uso inicial fija el nivel absoluto.

Transferencia de datos

La velocidad de descarga indica cómo crece el total; conocer los bytes iniciales determina el acumulado.

Animación

La velocidad de una propiedad describe su evolución; el fotograma inicial determina su valor en cada instante.

Estos ejemplos anticipan una idea esencial del cálculo integral: pequeñas variaciones pueden reunirse para recuperar una cantidad total. La construcción matemática precisa se desarrollará más adelante mediante sumas de Riemann y la integral definida.

08 · Exploración interactiva

Laboratorio: una derivada, muchas funciones

Elegí una razón de cambio y mové el control de C. La curva de F se desplaza verticalmente, pero su forma y su derivada no cambian.

La curva naranja representa una posible función F y la curva violeta representa su derivada f. El control modifica solamente la constante vertical.

Preguntas para explorar

1. Cambiá C. ¿Se modifica el valor de F(1)? ¿Y la pendiente F′(1)?
2. Compará dos curvas con constantes distintas. ¿Conservan la misma forma?
3. Elegí f(x) = cos(x). ¿Qué función conocida aparece como candidata?
4. ¿Qué valor de C necesitarías para que la familia x² + C pase por el punto (1, 4)?

09 · Implementación

Representar y comprobar candidatas con JavaScript

Podemos modelar una función conocida, una candidata y su derivada en un mismo objeto. La función comprobar compara valores en varios puntos:

const problema = {
  conocida: x => 6 * x ** 2 - 4 * x + 3,
  candidata: (x, C = 0) => 2 * x ** 3 - 2 * x ** 2 + 3 * x + C,
  derivadaCandidata: x => 6 * x ** 2 - 4 * x + 3
};

function comprobar(modelo, puntos) {
  return puntos.map(x => ({
    x,
    esperada: modelo.conocida(x),
    obtenida: modelo.derivadaCandidata(x),
    coincide: modelo.conocida(x) === modelo.derivadaCandidata(x)
  }));
}

console.table(comprobar(problema, [-2, -1, 0, 1, 2]));
console.log("F(2) con C = 5:", problema.candidata(2, 5));

En este ejemplo la derivada se escribió de forma exacta. Probar algunos valores ayuda a revisar el programa, pero una coincidencia en una lista finita de puntos no demuestra que dos funciones sean idénticas.

Verificar mediante una derivada numérica

Cuando solo disponemos de una función ejecutable, podemos aproximar su derivada con diferencias centrales:

function derivadaNumerica(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

const C = 7;
const F = x => x ** 2 + C;
const f = x => 2 * x;

for (const x of [-2, -1, 0, 1, 2]) {
  const aproximada = derivadaNumerica(F, x);
  console.log({
    x,
    derivadaEsperada: f(x),
    derivadaAproximada: Number(aproximada.toFixed(6))
  });
}

El valor de C no aparece en el resultado porque sumar una constante no cambia las diferencias entre valores cercanos. La pequeña discrepancia posible se debe al cálculo con números de punto flotante.

10 · Estrategia

Un procedimiento para los primeros problemas

1. Identificá la función conocida. Es la razón de cambio que debe aparecer al final.
2. Recordá reglas de derivación. Preguntate qué expresión produce cada término conocido.
3. Construí una función candidata. Reuní las partes sin olvidar signos ni coeficientes.
4. Agregá una constante. Representa toda la información que la derivación eliminó.
5. Derivá la respuesta. La función original debe recuperarse exactamente.
6. Usá datos adicionales. Si se conoce un valor de la función, sustituílo para determinar la constante.

Este procedimiento funciona con casos inmediatos. Más adelante necesitaremos métodos específicos cuando la forma de la función no permita reconocer la respuesta directamente.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: reconocer una familia

Encontrá todas las funciones cuya derivada es f(x) = 4x³.

Ejercicio 2: comprobar una candidata

¿Es F(x) = 5x² − 3x + 8 una solución del problema F′(x) = 10x − 3?

Ejercicio 3: encontrar el error

Una persona afirma que todas las funciones con derivada 6x tienen la forma 6x² + C. Explicá el error.

Ejercicio 4: utilizar un dato adicional

Se sabe que F′(x) = 3x² y que F(2) = 11. Determiná F.

Ejercicio 5: programar una familia

Creá una función JavaScript que genere miembros de la familia F(x) = x³ + C y comprobá que dos constantes diferentes no cambian su derivada.

function crearFuncion(C) {
  return x => x ** 3 + C;
}

function derivadaNumerica(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

const F1 = crearFuncion(-4);
const F2 = crearFuncion(10);

for (const x of [-1, 0, 1, 2]) {
  console.log({
    x,
    derivadaConC1: derivadaNumerica(F1, x),
    derivadaConC2: derivadaNumerica(F2, x),
    esperada: 3 * x ** 2
  });
}

13 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema formalizaremos estas funciones mediante el concepto de antiderivada o función primitiva y estudiaremos con precisión cuándo dos primitivas pertenecen a la misma familia.