Antiderivadas o funciones primitivas

01 · Definición

¿Qué es una antiderivada?

Sea f una función definida en un intervalo. Decimos que F es una antiderivada o función primitiva de f cuando la derivada de F coincide con f en todos los puntos del intervalo:

Por ejemplo, F(x) = x³ es una antiderivada de f(x) = 3x², porque:

02 · Lenguaje matemático

Distintas palabras para la misma relación

En libros y documentación podemos encontrar varias expresiones equivalentes. Todas describen la relación F′ = f.

Usaremos «antiderivada» y «primitiva» como sinónimos. Conviene mantener las letras diferenciadas: normalmente f representa la función conocida y F una de sus primitivas.

03 · Reconocimiento

Leer las reglas de derivación en sentido inverso

Las primeras primitivas se obtienen recordando derivadas conocidas. Cada fila puede leerse de izquierda a derecha para derivar o de derecha a izquierda para antiderivar.

La tabla muestra una primitiva por fila, no la única. Por ejemplo, x² + 4 también tiene derivada 2x.

04 · Criterio decisivo

Comprobar una candidata derivándola

Supongamos que queremos decidir si F(x) = 2x³ − 5x + 7 es primitiva de f(x) = 6x² − 5. Aplicamos las reglas de derivación:

Como F′(x) = f(x), la respuesta es afirmativa. En cambio, G(x) = 3x³ − 5x no es primitiva de la misma función, porque G′(x) = 9x² − 5.

1. 01
   Identificá la candidata.

   Esa función debe ocupar el lugar de F.

2. 02
   Calculá su derivada completa.

   Aplicá las reglas sin omitir términos.

3. 03
   Simplificá el resultado.

   Dos expresiones diferentes pueden representar la misma función.

4. 04
   Compará con f.

   La igualdad debe cumplirse en todo el intervalo, no solo en algunos puntos.

05 · Todas las soluciones

Una primitiva determina una familia

Si F′(x) = f(x), sumar una constante no modifica la derivada:

Por lo tanto, cada función F(x) + C también es primitiva de f. Por ejemplo, para f(x) = 2x obtenemos la familia x² + C.

En el tema siguiente estudiaremos con más detalle el papel de C, por qué no debe omitirse y cómo un dato adicional permite determinarla.

06 · Resultado fundamental

Dos primitivas difieren en una constante

No solo sabemos que sumar una constante produce otra primitiva. También vale la afirmación recíproca:

La justificación utiliza una consecuencia del cálculo diferencial. Como F′ = f y G′ = f, la función diferencia H = F − G satisface:

Una función con derivada cero en un intervalo es constante. Entonces F − G = C, o de manera equivalente, F = G + C.

07 · Dominio e intervalos

La relación debe valer donde trabajamos

Decir que F es primitiva de f requiere indicar un intervalo común donde ambas estén definidas y donde F′(x) = f(x).

Consideremos f(x) = 1/x, que no está definida en x = 0. La función F(x) = ln|x| satisface F′(x) = 1/x para x ≠ 0, pero el dominio se divide en dos intervalos: (−∞, 0) y (0, ∞).

En cada intervalo podemos sumar una constante. Como no existe conexión a través de cero, esas constantes no tienen por qué coincidir. Esta precisión evita tratar una expresión algebraica como si su dominio fuera irrelevante.

08 · Exploración interactiva

Laboratorio: ¿es realmente una primitiva?

Elegí un caso y desplazá el punto de evaluación. La curva amarilla representa la función conocida f; la violeta representa la derivada de la candidata F. Cuando coinciden en todo el intervalo, la candidata es una primitiva.

El gráfico compara la función conocida con la derivada de la candidata en todo el intervalo visible y destaca el punto seleccionado.

Preguntas para explorar

1. En el primer caso, mové el punto. ¿Se separan alguna vez las dos curvas?
2. Seleccioná «Coeficiente incorrecto». ¿Alcanza con que ambas curvas coincidan en x = 0?
3. Comprobá el caso trigonométrico utilizando una regla de derivación conocida.
4. ¿Por qué sumar una constante a cualquiera de las candidatas correctas no cambiaría la curva de F′?

09 · Implementación

Modelar primitivas y comprobarlas con JavaScript

Podemos representar la función conocida, una candidata y la derivada simbólica de esa candidata mediante funciones de JavaScript:

const ejercicio = {
  f: x => 6 * x ** 2 - 4,
  F: x => 2 * x ** 3 - 4 * x + 9,
  derivadaDeF: x => 6 * x ** 2 - 4
};

function compararEnPuntos(modelo, puntos) {
  return puntos.map(x => {
    const esperada = modelo.f(x);
    const obtenida = modelo.derivadaDeF(x);

    return {
      x,
      esperada,
      obtenida,
      coincide: esperada === obtenida
    };
  });
}

console.table(compararEnPuntos(ejercicio, [-2, -1, 0, 1, 2]));

La constante 9 aparece en F, pero no en derivadaDeF. La comparación permite verificar que la implementación de ambas fórmulas es coherente.

Comprobación numérica con tolerancia

Si no contamos con la fórmula de F′, podemos aproximarla mediante diferencias centrales:

function derivadaNumerica(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

function comprobarAproximadamente(f, F, puntos, tolerancia = 1e-6) {
  return puntos.map(x => {
    const esperada = f(x);
    const obtenida = derivadaNumerica(F, x);
    const error = Math.abs(esperada - obtenida);

    return { x, esperada, obtenida, error, coincide: error < tolerancia };
  });
}

const f = x => Math.cos(x);
const F = x => Math.sin(x) - 4;

console.table(comprobarAproximadamente(f, F, [-2, -1, 0, 1, 2]));

10 · Método de trabajo

Cómo resolver ejercicios de primitivas

1. Leé qué se pide. Puede ser encontrar una primitiva, comprobar una candidata o describir toda la familia.
2. Identificá la función f y el intervalo. El dominio forma parte de la afirmación.
3. Recordá una derivada relacionada. Trabajá hacia atrás desde las reglas conocidas.
4. Proponé una función F. Ajustá coeficientes y signos con cuidado.
5. Derivá F. Simplificá antes de comparar.
6. Expresá la familia cuando corresponda. Incluí las traslaciones constantes de la primitiva encontrada.

Este método será la base de las reglas de integración. A medida que aparezcan funciones más complejas, ampliaremos el repertorio de formas reconocibles y métodos de transformación.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: comprobar una primitiva

Determiná si F(x) = 4x³ + 2x − 7 es primitiva de f(x) = 12x² + 2.

Ejercicio 2: corregir una candidata

Para f(x) = 8x³ se propone F(x) = 8x⁴. Explicá el error y escribí una primitiva correcta.

Ejercicio 3: comparar dos funciones

Comprobá que F(x) = x³ + 5 y G(x) = x³ − 9 son primitivas de la misma función. ¿Cuál es la constante que las relaciona?

Ejercicio 4: considerar el dominio

¿En qué intervalos es F(x) = ln|x| + 2 una primitiva de f(x) = 1/x?

Ejercicio 5: implementar una comprobación

Escribí una función que compare f(x) = 3x² − 2x con la derivada conocida de F(x) = x³ − x² + 6 en varios puntos.

const f = x => 3 * x ** 2 - 2 * x;
const derivadaDeF = x => 3 * x ** 2 - 2 * x;

function verificar(f, derivada, puntos) {
  return puntos.every(x => f(x) === derivada(x));
}

console.log(verificar(f, derivadaDeF, [-3, -1, 0, 1, 3]));

13 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema analizaremos en profundidad la constante de integración, su interpretación gráfica y la forma de determinarla cuando conocemos un valor particular.