La constante de integración

01 · El término que no debe faltar

Una derivada no conserva la altura

Las funciones x², x² + 4 y x² − 10 tienen valores diferentes, pero comparten la misma derivada:

Al derivar, cualquier término constante desaparece. Por eso, si conocemos solamente la derivada 2x, no podemos saber a qué altura se encontraba la función original. La expresión C conserva todas las posibilidades.

02 · Origen algebraico

¿Por qué aparece C?

Supongamos que encontramos una primitiva F de una función f. Entonces F′ = f. Si sumamos cualquier número real C, obtenemos:

Esto demuestra que F + C también es una primitiva. Además, como vimos en el tema anterior, dos primitivas de la misma función sobre un intervalo solo pueden diferir en una constante.

03 · Una letra, infinitas funciones

C no es un número todavía

En una familia como F(x) = x³ + C, la letra C puede tomar cualquier valor real. Cada elección produce una función distinta:

La familia contiene infinitas funciones, pero C es constante dentro de cada una. No cambia cuando cambia x.

04 · Lectura gráfica

Curvas con la misma forma y distintas alturas

Sumar una constante produce una traslación vertical. Todas las curvas de una familia tienen:

• la misma forma;
• las mismas pendientes para cada valor de x;
• los mismos intervalos de crecimiento y decrecimiento;
• una separación vertical constante entre sí.

Por ejemplo, la diferencia entre x² + 7 y x² − 3 es siempre 10. Sus gráficas nunca se cruzan y ambas tienen derivada 2x.

05 · Seleccionar una solución

Un punto conocido determina C

Para pasar de una familia a una función particular necesitamos un dato adicional. Si sabemos que la gráfica pasa por (a, b), entonces debe cumplirse F(a) = b.

Supongamos que una familia tiene la forma F(x) = x² + C y conocemos F(2) = 9. Sustituimos:

La función particular es F(x) = x² + 5. Comprobamos las dos condiciones:

06 · Método general

Cómo calcular una constante particular

1. 01
   Escribí la familia de primitivas.

   Partí de una expresión de la forma F(x) = P(x) + C.

2. 02
   Identificá el dato conocido.

   Traducí el punto (a, b) como la igualdad F(a) = b.

3. 03
   Sustituí la entrada y la salida.

   Obtené la ecuación b = P(a) + C.

4. 04
   Despejá C.

   La fórmula directa es C = b − P(a).

5. 05
   Comprobá el resultado.

   Verificá tanto F′ = f como F(a) = b.

07 · Ejemplo aplicado

Reconstruir una posición desde la velocidad

La velocidad de un objeto está dada por v(t) = 6t. Una función de posición compatible es:

Si en el instante t = 0 el objeto se encuentra en la posición 12, entonces s(0) = 12:

Por lo tanto, s(t) = 3t² + 12. En este contexto, C no es una corrección abstracta: representa la posición inicial.

Razón de cambio

v(t) = 6t determina cómo evoluciona la posición.

Condición inicial

s(0) = 12 fija desde qué posición comienza el movimiento.

Constante

C = 12 conserva el nivel inicial que no aparece en la velocidad.

Solución particular

s(t) = 3t² + 12 satisface la razón de cambio y el dato inicial.

08 · Exploración interactiva

Laboratorio: encontrar C a partir de un punto

Elegí una familia y modificá el valor que debe tomar la función en la entrada indicada. El laboratorio calcula C y desplaza la curva para que pase por el punto.

La curva gris representa la primitiva base con C igual a cero. La curva amarilla es su traslación vertical y pasa por el punto indicado.

Preguntas para explorar

1. Aumentá el valor conocido. ¿Cómo cambia C y hacia dónde se mueve la curva?
2. En la familia cúbica, observá que el dato se aplica en x = 2. ¿Por qué primero debemos calcular P(2)?
3. Buscá un valor conocido que produzca C = 0 en cada modelo.
4. Compará la curva base y la particular. ¿Cambia su forma o solamente su altura?

09 · Implementación

Calcular C y construir funciones en JavaScript

La fórmula C = b − P(a) se traduce directamente a una función:

function determinarConstante(primitivaBase, a, b) {
  return b - primitivaBase(a);
}

const P = x => x ** 2;
const a = 2;
const b = 9;
const C = determinarConstante(P, a, b);

const F = x => P(x) + C;
const derivadaDeF = x => 2 * x;

console.log("C =", C);
console.log("F(2) =", F(2));
console.log("F'(2) =", derivadaDeF(2));

El resultado es C = 5. La función F se crea como una clausura: conserva el valor de C calculado y puede evaluarse después en cualquier entrada.

Una fábrica de soluciones particulares

function crearSolucion(primitivaBase, punto) {
  const { x: a, y: b } = punto;
  const C = b - primitivaBase(a);

  return {
    C,
    evaluar: x => primitivaBase(x) + C,
    satisfaceElPunto: Math.abs(primitivaBase(a) + C - b) < 1e-12
  };
}

const solucion = crearSolucion(
  x => x ** 3,
  { x: 2, y: 11 }
);

console.log(solucion.C);
console.log(solucion.evaluar(2));
console.log(solucion.satisfaceElPunto);

El objeto devuelve C = 3, evalúa la función x³ + 3 y confirma que pasa por (2, 11).

10 · Coherencia de los datos

¿Qué ocurre si conocemos más de un punto?

Un solo punto basta para determinar C. Si recibimos varios, todos deben producir el mismo valor de la constante para ser compatibles con la familia.

Para F(x) = x² + C, los puntos (1, 4) y (2, 7) son coherentes:

En cambio, (1, 4) y (2, 8) producirían C = 3 y C = 4. Ninguna función de esa familia puede pasar por ambos puntos.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: describir una familia

Escribí tres integrantes diferentes de la familia F(x) = 4x + C y comprobá que tienen la misma derivada.

Ejercicio 2: determinar C

La familia es F(x) = x³ + C y se sabe que F(2) = 13. Calculá C.

Ejercicio 3: comprobar dos condiciones

Verificá que F(x) = 2x² − 3 satisface F′(x) = 4x y F(1) = −1.

Ejercicio 4: detectar datos incompatibles

¿Existe una función de la familia F(x) = 2x + C que pase por (1, 5) y (3, 10)?

Ejercicio 5: resolver con JavaScript

Calculá la constante para F(x) = sen(x) + C si F(0) = 6 y construí la función particular.

const base = x => Math.sin(x);
const a = 0;
const b = 6;
const C = b - base(a);
const F = x => base(x) + C;

console.log("C =", C);
console.log("F(0) =", F(0));
console.log("F(π/2) =", F(Math.PI / 2));

13 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema presentaremos la integral indefinida, la notación que permite expresar de forma compacta una familia completa de antiderivadas.