Integral indefinida: notación y significado

01 · Una nueva escritura

De la pregunta a la notación integral

En los temas anteriores escribimos el problema inverso de la derivación como F′(x) = f(x). La integral indefinida es la notación convencional para expresar el conjunto de todas sus soluciones:

Por ejemplo, como la derivada de x² es 2x, escribimos:

Esta igualdad no presenta un único valor: el lado derecho resume infinitas funciones, una por cada valor real de C.

02 · Anatomía de la expresión

Qué significa cada símbolo

La expresión ∫ f(x) dx reúne tres piezas inseparables. El resultado agrega una cuarta pieza, la constante de integración.

Así, ∫ 6t² dt se lee «integral de seis t al cuadrado respecto de t». La letra puede cambiar; lo importante es mantener coherencia entre el integrando, el diferencial y la respuesta.

03 · Qué expresa la igualdad

Una familia, no un número

Cuando escribimos ∫ f(x) dx = F(x) + C, afirmamos que todas las funciones del lado derecho tienen derivada f. También afirmamos, al trabajar en un intervalo, que no falta ninguna: cualquier otra primitiva difiere de F en una constante.

Por ejemplo, ∫ 3x² dx = x³ + C representa x³, x³ + 2, x³ − 7 y cualquier otro traslado vertical. La notación no elige una integrante porque el integrando no contiene información sobre la altura inicial.

04 · Variable de integración

El papel de dx

En una integral indefinida elemental, dx indica con respecto a qué variable se realiza la operación. Esto es decisivo cuando una expresión contiene más de una letra.

En las dos últimas filas, la letra que no aparece en el diferencial se trata como constante. Más adelante, esta distinción será indispensable al trabajar con sustituciones, parámetros e integrales de varias variables.

05 · Traducción paso a paso

Leer y escribir una integral correctamente

Consideremos la expresión:

1. 01
   Identificar la operación.

   El signo ∫ pide encontrar primitivas, no evaluar la expresión en un punto.

2. 02
   Delimitar el integrando.

   Todo 6x² − 4x + 3 se encuentra entre el signo integral y dx.

3. 03
   Reconocer la variable.

   El diferencial dx indica que debemos pensar las derivadas con respecto a x.

4. 04
   Construir una primitiva.

   2x³ − 2x² + 3x produce el integrando al derivarse.

5. 05
   Completar la familia.

   Se añade + C porque derivar elimina cualquier término constante.

Los paréntesis no siempre son obligatorios, pero son muy útiles cuando el integrando tiene varios términos. Funcionan como una delimitación explícita, del mismo modo que los paréntesis aclaran los argumentos de una función en un programa.

06 · El criterio de corrección

Derivar deshace la integral indefinida

Para comprobar una respuesta no necesitamos confiar en la memoria: derivamos el resultado. Si recuperamos exactamente el integrando en el intervalo de trabajo, la familia es correcta.

Verifiquemos ∫ (4x³ + cos(x)) dx = x⁴ + sen(x) + C:

La derivación confirma simultáneamente los exponentes, los coeficientes, los signos y la variable utilizada.

07 · Dos usos del signo integral

Integral indefinida e integral definida

El mismo signo integral aparecerá más adelante con límites. Aunque ambas nociones están profundamente relacionadas, no significan lo mismo.

No debemos interpretar todavía la integral indefinida como «un área sin límites». Su significado inmediato es algebraico: una familia de antiderivadas. El teorema fundamental del cálculo explicará luego por qué las primitivas permiten calcular acumulaciones definidas.

08 · Exploración interactiva

Laboratorio: leer, resolver y comprobar

Elegí un integrando y modificá C. La curva amarilla muestra una integrante de la familia; la violeta muestra el integrando, que coincide con su derivada. Observá cómo cambia el valor de la primitiva, pero no la igualdad que verifica la solución.

El gráfico compara el integrando f con una primitiva F. Sus escalas verticales se distinguen por color; el objetivo es observar que C traslada F sin modificar F prima.

Preguntas para explorar

1. Mové C. ¿Qué parte de la igualdad cambia y cuál permanece igual?
2. Elegí ∫ 3 dx. ¿Por qué la primitiva es una recta?
3. En ∫ cos(x) dx, ¿qué función conocida aparece en la familia?
4. ¿Qué operación permite comprobar todos los casos sin mirar el gráfico?

09 · Implementación

Representar una integral indefinida en JavaScript

JavaScript no posee un operador incorporado para integrar simbólicamente. Sin embargo, podemos representar la relación matemática con funciones: un integrando, una primitiva base y la derivada conocida de esa primitiva.

const integral = {
  notacion: "∫ (6x² - 4x + 3) dx",
  variable: "x",
  integrando: x => 6 * x ** 2 - 4 * x + 3,
  primitivaBase: x => 2 * x ** 3 - 2 * x ** 2 + 3 * x,
  derivadaDeLaPrimitiva: x => 6 * x ** 2 - 4 * x + 3
};

function miembroDeLaFamilia(modelo, C) {
  return x => modelo.primitivaBase(x) + C;
}

const F = miembroDeLaFamilia(integral, 5);
console.log(integral.notacion);
console.log("F(2) con C = 5:", F(2));
console.log("F'(2):", integral.derivadaDeLaPrimitiva(2));
console.log("f(2):", integral.integrando(2));

La constante pertenece a la función resultante, no al integrando. La clausura devuelta por miembroDeLaFamilia conserva el valor elegido de C.

Comprobar con una derivada numérica

Si solo tenemos la primitiva como función ejecutable, podemos aproximar su derivada mediante diferencias centrales y compararla con el integrando:

function derivadaNumerica(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

function comprobarIntegral(integrando, primitiva, puntos, tolerancia = 1e-7) {
  return puntos.map(x => {
    const esperada = integrando(x);
    const obtenida = derivadaNumerica(primitiva, x);
    return {
      x,
      esperada,
      obtenida: Number(obtenida.toFixed(6)),
      coincide: Math.abs(esperada - obtenida) < tolerancia
    };
  });
}

const f = x => 2 * x;
const F = x => x ** 2 + 8;
console.table(comprobarIntegral(f, F, [-2, -1, 0, 1, 2]));

La tolerancia es necesaria porque el cálculo numérico usa aproximaciones y números de punto flotante. Esta comprobación es útil para probar una implementación, pero no reemplaza la demostración simbólica válida para todo el intervalo.

10 · Precisión matemática

La igualdad se interpreta en un intervalo

La afirmación de que dos primitivas difieren en una constante requiere trabajar sobre un intervalo. Si el dominio está separado, puede aparecer una constante diferente en cada componente.

Para f(x) = 1/x, una notación habitual es:

La fórmula vale tanto en (−∞, 0) como en (0, ∞). Si describimos absolutamente todas las primitivas sobre el dominio desconectado ℝ \ {0}, la constante del lado negativo puede elegirse independientemente de la del lado positivo.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: identificar las partes

En ∫ (5t⁴ − 2t) dt, indicá el signo de operación, el integrando y la variable de integración.

Ejercicio 2: traducir a palabras

Leé en palabras la igualdad ∫ cos(u) du = sen(u) + C y explicá qué representa C.

Ejercicio 3: comprobar una igualdad

Determiná si ∫ (4x³ − 6x) dx = x⁴ − 3x² + C es correcta.

Ejercicio 4: detectar y corregir errores

Una respuesta propone ∫ 2x dx = 2x². Señalá todos los problemas y escribí la igualdad correcta.

Ejercicio 5: distinguir tipos de resultado

Explicá por qué ∫ 3 dx y ∫₀² 3 dx no representan el mismo tipo de objeto.

Ejercicio 6: modelar en JavaScript

Representá ∫ 3x² dx = x³ + C con funciones JavaScript y verificá la igualdad en x = −2, 0, 2.

const integrando = x => 3 * x ** 2;
const primitiva = (x, C = 0) => x ** 3 + C;
const derivadaPrimitiva = x => 3 * x ** 2;

for (const x of [-2, 0, 2]) {
  console.log({
    x,
    integrando: integrando(x),
    derivada: derivadaPrimitiva(x),
    valorConC4: primitiva(x, 4)
  });
}

13 · Síntesis

Ideas para recordar