Linealidad de la integral indefinida

01 · Una propiedad estructural

Integrar combinaciones lineales

Muchos integrandos están formados por funciones más simples unidas mediante sumas, restas y multiplicaciones por números. La linealidad permite separar esas piezas, resolverlas individualmente y volver a combinarlas.

Aquí a y b son constantes respecto de x. Si F′ = f y G′ = g, entonces una primitiva de la combinación es aF + bG:

02 · Primera regla

La integral de una suma

Si conocemos una primitiva de f y otra de g, la suma de esas primitivas es una primitiva de f + g:

Por ejemplo, sabemos que x² tiene derivada 2x y que sen(x) tiene derivada cos(x). Entonces:

La comprobación reúne las derivadas de cada pieza:

La regla funciona con cualquier cantidad finita de términos. Un polinomio, por ejemplo, puede tratarse como la suma de varios monomios.

03 · Restar es sumar un opuesto

La integral de una diferencia

Una resta puede escribirse como una suma cuyo segundo coeficiente es −1. Por linealidad:

Tomemos f(x) = 3x² y g(x) = 4. Una primitiva de la primera función es x³; una primitiva de la segunda es 4x:

El signo debe acompañar al término durante todo el proceso. Al comprobar:

04 · Segunda regla

Extraer un factor constante

Si k no depende de la variable de integración, puede colocarse fuera del signo integral:

Por ejemplo, como ∫ cos(x) dx = sen(x) + C, resulta:

Esto suele abreviarse como ∫ kf(x) dx = k∫f(x) dx. Si k ≠ 0, podríamos escribir inicialmente k[F(x) + C₁]: como kC₁ sigue recorriendo todos los números reales, se renombra simplemente como C. Si k = 0, la integral es ∫0 dx = C; por eso la forma kF + C expresa el caso general con precisión.

05 · Una sola familia

¿Dónde quedan las constantes de cada término?

Al separar una suma podríamos escribir una constante en cada integral:

Al reunir los términos aparece F(x) + G(x) + (C₁ + C₂). La suma de dos constantes arbitrarias sigue siendo una constante arbitraria, por lo que usamos una única letra:

Lo mismo ocurre al restar o multiplicar por constantes no nulas. Escribir + C una vez, al final de la respuesta, describe toda la familia sin duplicar información.

06 · Ejemplo completo

Separar, integrar y reunir

Calculemos:

1. 01
   Separar la suma algebraica.

   ∫ 6x² dx − ∫ 4x dx + ∫ 3 dx.

2. 02
   Extraer los coeficientes.

   6∫ x² dx − 4∫ x dx + 3∫ 1 dx.

3. 03
   Reconocer primitivas.

   Una primitiva de x² es x³/3; de x es x²/2; de 1 es x.

4. 04
   Aplicar los factores.

   6(x³/3) − 4(x²/2) + 3x.

5. 05
   Simplificar y completar.

   El resultado es 2x³ − 2x² + 3x + C.

6. 06
   Comprobar derivando.

   La derivada devuelve 6x² − 4x + 3.

La linealidad organiza el problema, pero no calcula por sí sola la primitiva de cada pieza. Para eso necesitamos una tabla de primitivas o reglas como la regla de la potencia, que estudiaremos en el próximo tema.

07 · Por qué funciona

La linealidad proviene de la derivación

Supongamos que F′ = f y G′ = g, y que a y b son constantes. La derivada de una combinación lineal cumple:

Por definición, esto demuestra que aF + bG es una primitiva de af + bg. Al agregar C obtenemos la familia completa.

Esta propiedad es algebraica y no depende de que las funciones sean polinomios. Vale para funciones trigonométricas, exponenciales y cualquier otra combinación para la cual existan las primitivas involucradas en el intervalo considerado.

08 · Exploración interactiva

Laboratorio: combinar primitivas

Elegí un par de funciones y modificá los coeficientes a y b. El gráfico muestra la primitiva combinada aF + bG y el integrando af + bg. La comprobación utiliza la linealidad de la derivada.

La curva amarilla representa una primitiva de la combinación; la violeta representa el integrando, que es su derivada. Las escalas se ajustan automáticamente.

Preguntas para explorar

1. Cambiá el signo de b. ¿Cómo se refleja en el integrando y en la primitiva?
2. Colocá a = 0. ¿Qué términos desaparecen?
3. Duplicá un coeficiente. ¿Se duplica también la contribución de su primitiva?
4. Elegí el par trigonométrico. ¿Por qué la primitiva de sen(x) lleva signo negativo?

09 · Implementación

Componer integrandos y primitivas en JavaScript

La linealidad puede representarse con una función de orden superior que recibe coeficientes y funciones base:

function combinacionLineal(coeficientes, funciones) {
  if (coeficientes.length !== funciones.length) {
    throw new Error("Debe haber un coeficiente por función");
  }

  return x => funciones.reduce(
    (suma, funcion, indice) => suma + coeficientes[indice] * funcion(x),
    0
  );
}

const f = x => 2 * x;
const g = x => Math.cos(x);
const F = x => x ** 2;
const G = x => Math.sin(x);

const integrando = combinacionLineal([3, -2], [f, g]);
const primitiva = combinacionLineal([3, -2], [F, G]);

console.log("Integrando en x=1:", integrando(1));
console.log("Primitiva en x=1:", primitiva(1));

Los mismos coeficientes se aplican a las funciones y a sus primitivas. La construcción no realiza integración simbólica: codifica una propiedad matemática cuando ya conocemos las primitivas base.

Verificar la combinación numéricamente

function derivadaNumerica(funcion, x, h = 1e-5) {
  return (funcion(x + h) - funcion(x - h)) / (2 * h);
}

function verificarLinealidad(integrando, primitiva, puntos) {
  return puntos.map(x => {
    const esperado = integrando(x);
    const obtenido = derivadaNumerica(primitiva, x);
    return {
      x,
      esperado: Number(esperado.toFixed(6)),
      obtenido: Number(obtenido.toFixed(6)),
      error: Number(Math.abs(esperado - obtenido).toExponential(2))
    };
  });
}

const integrando = x => 6 * x ** 2 - 4 * x + 3;
const primitiva = x => 2 * x ** 3 - 2 * x ** 2 + 3 * x + 7;

console.table(verificarLinealidad(integrando, primitiva, [-2, -1, 0, 1, 2]));

El + 7 no afecta la derivada numérica salvo por el pequeño error de redondeo propio del cálculo con punto flotante.

10 · Alcance de la propiedad

Qué puede separarse y qué no

La linealidad se aplica a sumas, diferencias y múltiplos constantes. No autoriza a distribuir la integral sobre cualquier operación.

Por ejemplo, ∫ x·x dx = ∫ x² dx, pero el producto (∫x dx)(∫x dx) generaría una expresión de cuarto grado cuya derivada no es x². La comprobación derivativa revela inmediatamente el error.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: integral de una suma

Calculá ∫ [2x + cos(x)] dx usando linealidad.

Ejercicio 2: factor constante

Sabiendo que ∫ eˣ dx = eˣ + C, calculá ∫ −4eˣ dx.

Ejercicio 3: combinar reglas

Calculá ∫ (9x² − 2x + 5) dx y verificá el resultado.

Ejercicio 4: decidir si una separación es válida

¿Es correcto afirmar que ∫ x cos(x) dx = (∫x dx)(∫cos(x) dx)? Justificá.

Ejercicio 5: parámetros constantes

Si a y b son constantes respecto de x, calculá ∫ (ax + b) dx.

Ejercicio 6: implementar la propiedad

Construí con JavaScript la combinación 4f − 3g para f(x) = x² y g(x) = cos(x).

const f = x => x ** 2;
const g = x => Math.cos(x);
const combinada = x => 4 * f(x) - 3 * g(x);

for (const x of [-1, 0, 1]) {
  console.log({ x, valor: combinada(x) });
}

13 · Síntesis

Ideas para recordar