Regla de la potencia para antiderivar

01 · La fórmula fundamental

Antiderivar una potencia de x

Para cualquier exponente real n distinto de −1, y en un intervalo donde la potencia esté definida, la regla es:

La transformación contiene dos operaciones coordinadas:

02 · Invertir una derivada conocida

De dónde proviene la regla

La regla de derivación de una potencia afirma que:

Para obtener xⁿ como derivada necesitamos que m − 1 = n, es decir, m = n + 1. Probamos entonces con xⁿ⁺¹:

Aparece el factor extra n + 1. Lo neutralizamos dividiendo la función por ese mismo número:

Esta deducción explica cada parte de la fórmula. No es una receta arbitraria: está diseñada para que la derivación recupere exactamente el integrando.

03 · Método paso a paso

Aplicar la regla sin perder factores

Calculemos ∫ x⁴ dx siguiendo un procedimiento explícito.

1. 01
   Identificar el exponente.

   En x⁴, tenemos n = 4.

2. 02
   Comprobar la excepción.

   Como 4 ≠ −1, podemos usar la regla.

3. 03
   Sumar uno.

   El nuevo exponente es 4 + 1 = 5.

4. 04
   Dividir por el nuevo exponente.

   Obtenemos x⁵/5.

5. 05
   Agregar la constante.

   La familia completa es x⁵/5 + C.

6. 06
   Verificar.

   d/dx [x⁵/5 + C] = (5/5)x⁴ = x⁴.

04 · Primeros casos

Exponentes enteros no negativos

La regla incluye constantes, la función identidad y potencias polinómicas. Recordemos que 1 = x⁰.

Para integrar una constante k, combinamos la regla con linealidad: ∫ k dx = k∫x⁰ dx = kx + C.

05 · Potencias recíprocas

Exponentes enteros negativos

La regla también funciona para potencias negativas, siempre que n ≠ −1. Conviene convertir primero las fracciones a notación de exponente:

Ahora aplicamos la regla con n = −3:

La comprobación es especialmente útil para controlar los signos:

06 · Raíces como potencias

Exponentes fraccionarios

Las raíces pueden reescribirse con exponentes racionales y luego integrarse con la misma regla:

Para la raíz cuadrada:

Para su recíproco:

Dividir por una fracción equivale a multiplicar por su recíproco. Por eso 1 ÷ (3/2) = 2/3 y 1 ÷ (1/2) = 2.

07 · El caso que queda afuera

¿Qué ocurre cuando n = −1?

Si intentamos aplicar la fórmula a x⁻¹ = 1/x, el nuevo exponente sería cero y aparecería una división por cero:

Esto no significa que 1/x carezca de primitiva. Significa solamente que la regla de la potencia no sirve en este caso. La fórmula correcta es:

El logaritmo se estudiará con más detalle en el tema siguiente. Por ahora, lo esencial es reconocer el patrón x⁻¹ y no intentar dividir por cero.

08 · Combinar propiedades

Coeficientes y sumas de potencias

La regla de la potencia trabaja junto con la linealidad del tema anterior. Para una constante a:

Calculemos ∫ (4x³ − 6x² + 5) dx término a término:

Derivando recuperamos 4x³ − 6x² + 5. Este mecanismo permite antiderivar cualquier polinomio: cada monomio se transforma de forma independiente y al final se agrega una sola constante.

09 · Exploración interactiva

Laboratorio: transformar el exponente

Elegí un exponente y un coeficiente. El laboratorio construye la primitiva de a·xⁿ, muestra la transformación n → n + 1 y compara gráficamente el integrando con una integrante de la familia.

La curva violeta representa el integrando y la amarilla una primitiva. Para exponentes no enteros o negativos, el gráfico usa el intervalo positivo del dominio.

Preguntas para explorar

1. Elegí n = 0. ¿Qué primitiva produce una función constante?
2. Probá exponentes negativos. ¿Cuándo cambia el signo del coeficiente de la primitiva?
3. Elegí n = −1. ¿Por qué desaparece el divisor de la regla y aparece un logaritmo?
4. Mové C. ¿Cambia el integrando o solamente la altura de la primitiva?

10 · Implementación

Programar la regla de la potencia

Podemos construir una función que valide el exponente y devuelva una primitiva ejecutable. El caso n = −1 se trata explícitamente:

function crearPrimitivaPotencia(coeficiente, exponente, C = 0) {
  if (!Number.isFinite(coeficiente) || !Number.isFinite(exponente)) {
    throw new TypeError("El coeficiente y el exponente deben ser finitos");
  }

  if (exponente === -1) {
    return x => {
      if (x === 0) throw new RangeError("ln|x| no está definido en x = 0");
      return coeficiente * Math.log(Math.abs(x)) + C;
    };
  }

  const nuevoExponente = exponente + 1;
  return x => coeficiente * x ** nuevoExponente / nuevoExponente + C;
}

const F = crearPrimitivaPotencia(6, 2, 4);
console.log("F(2) =", F(2));
console.log("F(3) =", F(3));

Para 6x², la función construida representa 2x³ + 4. El valor de C queda guardado en la clausura.

Generar una representación simbólica

Además de evaluar, un programa educativo puede explicar la transformación:

function explicarPotencia(n) {
  if (n === -1) {
    return {
      aplicable: false,
      motivo: "n + 1 sería 0",
      resultado: "ln|x| + C"
    };
  }

  const nuevo = n + 1;
  return {
    aplicable: true,
    exponenteOriginal: n,
    nuevoExponente: nuevo,
    divisor: nuevo,
    resultado: `x^${nuevo} / ${nuevo} + C`
  };
}

console.log(explicarPotencia(4));
console.log(explicarPotencia(-3));
console.log(explicarPotencia(-1));

Separar la validación de la construcción evita producir expresiones inválidas como x⁰/0. En software matemático, las condiciones de una fórmula son parte del algoritmo.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: potencia positiva

Calculá ∫ x⁷ dx y comprobá el resultado.

Ejercicio 2: coeficiente constante

Calculá ∫ 12x³ dx.

Ejercicio 3: exponente negativo

Reescribí e integrá ∫ 4/x³ dx.

Ejercicio 4: raíz

Calculá ∫ 3√x dx.

Ejercicio 5: detectar la excepción

Explicá por qué no puede calcularse ∫ 5/x dx con la regla de la potencia y escribí su primitiva.

Ejercicio 6: integrar un polinomio

Calculá ∫ (5x⁴ − 3x² + 2x − 8) dx.

Ejercicio 7: implementar y verificar

Programá la primitiva de f(x) = 10x⁴ y compará numéricamente su derivada conocida en varios puntos.

const f = x => 10 * x ** 4;
const F = (x, C = 0) => 2 * x ** 5 + C;
const derivadaDeF = x => 10 * x ** 4;

for (const x of [-2, -1, 0, 1, 2]) {
  console.log({
    x,
    integrando: f(x),
    derivada: derivadaDeF(x),
    coincide: f(x) === derivadaDeF(x),
    primitivaConC3: F(x, 3)
  });
}

13 · Síntesis

Ideas para recordar