Antiderivadas exponenciales y logarítmicas

01 · Dos familias esenciales

Funciones que la regla de la potencia no cubre

La regla estudiada en el tema anterior resuelve ∫xⁿ dx salvo cuando n = −1. Ahora incorporamos dos patrones fundamentales: las funciones exponenciales y las funciones recíprocas que producen logaritmos.

Ambas fórmulas provienen de reglas de derivación conocidas. Como siempre, la estrategia más segura consiste en proponer una primitiva y derivarla.

02 · La base especial e

La exponencial natural se conserva

La función eˣ tiene una propiedad excepcional:

Por eso, invertir la derivación no modifica su forma:

Si aparece un coeficiente constante, aplicamos linealidad:

La comprobación es inmediata: (5eˣ + C)′ = 5eˣ.

03 · Otras bases

Integrar aˣ exige dividir por ln(a)

Para una base positiva a distinta de 1, la derivada de la función exponencial es:

El factor ln(a) no está presente en el integrando aˣ, así que debemos compensarlo:

Por ejemplo:

Al derivar, el factor ln(2) generado por la exponencial cancela el divisor.

04 · Compensar la regla de la cadena

Exponenciales con kx en el exponente

Al derivar eᵏˣ, la regla de la cadena produce el factor k:

Para obtener solamente eᵏˣ, dividimos por k:

Con una base general aparecen dos factores:

Por ejemplo, ∫ 3²ˣ dx = 3²ˣ/[2ln(3)] + C.

1. 01
   Reconocer la base.

   Si es e, no aparece ln(a); para otra base positiva, sí.

2. 02
   Derivar mentalmente el exponente.

   Para kx, la derivada interna es k.

3. 03
   Compensar los factores.

   Dividir por k y, si corresponde, por ln(a).

4. 04
   Agregar C y comprobar.

   La derivación debe cancelar exactamente todos los divisores introducidos.

05 · La excepción de la potencia

La primitiva de 1/x es logarítmica

La función 1/x = x⁻¹ es el caso excluido de la regla de la potencia. La derivada del logaritmo natural proporciona la solución:

Para incluir también entradas negativas usamos el valor absoluto:

Si x < 0, entonces |x| = −x. Mediante la regla de la cadena:

De este modo, una sola escritura cubre ambos lados del origen.

06 · Intervalos separados

Por qué el valor absoluto y el dominio importan

El integrando 1/x no está definido en cero. Su dominio real está formado por dos intervalos desconectados: (−∞, 0) y (0, ∞).

En ejercicios elementales se utiliza una única C y se entiende que trabajamos dentro de un intervalo que no cruza la singularidad.

07 · Un patrón ampliado

Recíprocos de expresiones lineales

La derivada de ln|ax + b| contiene la derivada interna a:

Para integrar solamente 1/(ax + b), compensamos dividiendo por a:

Ejemplo:

La fórmula vale en intervalos que no contengan el punto x = 2/3, donde el denominador se anula.

08 · Reconocer y reunir

Integrales con varios patrones

La linealidad permite combinar potencias, exponenciales y recíprocos. Consideremos:

1. 01
   Separar los términos.

   3∫x² dx + 4∫eˣ dx − 2∫1/x dx.

2. 02
   Elegir una regla para cada forma.

   Potencia para x², exponencial natural para eˣ y logaritmo para 1/x.

3. 03
   Calcular y reunir.

   x³ + 4eˣ − 2ln|x| + C.

4. 04
   Indicar el dominio.

   La expresión se interpreta en un intervalo con x ≠ 0.

5. 05
   Comprobar.

   La derivada recupera 3x² + 4eˣ − 2/x.

09 · Exploración interactiva

Laboratorio: reconocer el factor de ajuste

Elegí un patrón, modificá la constante de integración y desplazá el punto de evaluación. El laboratorio muestra la fórmula, el dominio y la coincidencia entre el integrando y la derivada de la primitiva.

La curva violeta representa el integrando y la amarilla una primitiva. En los modelos recíprocos se omiten los puntos cercanos a la asíntota vertical.

Preguntas para explorar

1. Compará eˣ y 2ˣ. ¿Qué divisor adicional necesita la segunda?
2. Elegí e²ˣ. ¿De dónde proviene el factor 1/2?
3. En 1/x, intentá acercarte a cero. ¿Por qué ese punto no pertenece al dominio?
4. En 1/(2x+1), identificá la entrada que anula el denominador.

10 · Implementación

Modelar primitivas exponenciales en JavaScript

Una función puede construir la primitiva de coeficiente · baseᵏˣ y validar las condiciones de la fórmula:

function primitivaExponencial(coeficiente, base, k = 1, C = 0) {
  if (!(base > 0) || base === 1) {
    throw new RangeError("La base debe ser positiva y distinta de 1");
  }
  if (k === 0) {
    return x => coeficiente * x + C;
  }

  const divisor = k * Math.log(base);
  return x => coeficiente * base ** (k * x) / divisor + C;
}

const F = primitivaExponencial(3, 2, 4, 5);
console.log("F(0) =", F(0));
console.log("F(1) =", F(1));

Si k = 0, entonces baseᵏˣ = 1 y el integrando se vuelve constante; por eso se devuelve una función lineal.

Implementar el patrón logarítmico

function primitivaReciproca(a, b, coeficiente = 1, C = 0) {
  if (a === 0) {
    if (b === 0) throw new RangeError("El denominador es cero");
    return x => (coeficiente / b) * x + C;
  }

  return x => {
    const argumento = a * x + b;
    if (argumento === 0) {
      throw new RangeError("La función no está definida en este punto");
    }
    return (coeficiente / a) * Math.log(Math.abs(argumento)) + C;
  };
}

const F = primitivaReciproca(2, 1, 5);
console.log("F(0) =", F(0));
console.log("F(1) =", F(1));

Math.log calcula el logaritmo natural. Aplicar Math.abs reproduce ln|ax+b|, pero la validación debe impedir que el argumento sea cero.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: exponencial natural

Calculá ∫ 7eˣ dx y comprobá el resultado.

Ejercicio 2: otra base

Calculá ∫ 5ˣ dx.

Ejercicio 3: exponente lineal

Calculá ∫ 4e⁻²ˣ dx.

Ejercicio 4: recíproco básico

Calculá ∫ −3/x dx e indicá el dominio.

Ejercicio 5: denominador lineal

Calculá ∫ 6/(3x + 4) dx.

Ejercicio 6: combinación

Calculá ∫ [2x + 3eˣ + 4/x] dx.

Ejercicio 7: implementar una verificación

Representá f(x) = 2ˣ, su primitiva y la derivada conocida de esa primitiva.

const f = x => 2 ** x;
const F = (x, C = 0) => 2 ** x / Math.log(2) + C;
const derivadaDeF = x => 2 ** x;

for (const x of [-2, -1, 0, 1, 2]) {
  console.log({
    x,
    integrando: f(x),
    derivada: derivadaDeF(x),
    primitivaConC3: F(x, 3)
  });
}

13 · Síntesis

Ideas para recordar