Antiderivadas trigonométricas básicas

01 · Reconocer derivadas conocidas

Antiderivar funciones periódicas

Las primeras integrales trigonométricas se obtienen invirtiendo reglas de derivación ya conocidas. El objetivo no es aplicar todavía identidades complejas, sino identificar patrones que aparecen de forma directa.

Como [sen(x)]′ = cos(x), la función seno es una primitiva del coseno. La constante completa la familia.

02 · El par principal

Integrales de seno y coseno

Las derivadas fundamentales, trabajando en radianes, son:

Leídas en sentido inverso producen:

El signo negativo de la segunda fórmula es indispensable. Al derivar −cos(x), los dos signos negativos se cancelan:

03 · Control de signos

Comprobar en lugar de adivinar

Es común confundir sen y cos o perder el signo negativo. Un procedimiento corto reduce esos errores:

1. 01
   Proponer una candidata.

   Para ∫sen(x) dx, probamos con cos(x).

2. 02
   Derivarla.

   La derivada de cos(x) es −sen(x).

3. 03
   Comparar con el integrando.

   Obtenemos el opuesto de lo que necesitamos.

4. 04
   Corregir el signo.

   Usamos −cos(x), cuya derivada sí es sen(x).

5. 05
   Agregar la constante.

   La respuesta completa es −cos(x) + C.

04 · Tangente y secante

Dos patrones de la familia secante

Las siguientes derivadas generan dos primitivas inmediatas:

Por lo tanto:

En el segundo patrón deben aparecer juntos sec(x) y tan(x). No debe confundirse con ∫tan(x) dx, que por sí sola tiene una primitiva logarítmica:

Esta última fórmula puede verificarse derivando, pero su deducción sistemática requiere transformar la tangente como sen(x)/cos(x).

05 · Cotangente y cosecante

Los patrones que llevan signo negativo

Las derivadas correspondientes son:

Para obtener integrandos positivos, las primitivas deben incluir un signo menos:

Si el integrando ya tiene signo negativo, las respuestas cambian de signo:

06 · Tabla inmediata

Seis fórmulas para reconocer

Cada fila representa una familia al agregar + C. La tabla resume resultados; la derivación de la tercera columna explica por qué son correctos.

07 · Frecuencia y regla de la cadena

Funciones trigonométricas de kx

Cuando el argumento es kx, derivar genera el factor interno k. Para compensarlo, dividimos por k, siempre que k ≠ 0:

El mismo ajuste se aplica a las demás familias:

Ejemplo:

La comprobación muestra cómo se cancela el ajuste:

08 · Condiciones de las fórmulas

Radianes, dominios e intervalos

Las fórmulas de derivación utilizadas aquí suponen que los ángulos se miden en radianes. Si se trabajara en grados, aparecería un factor adicional π/180.

Además, no todas las funciones trigonométricas están definidas en todos los números reales:

Las igualdades de primitivas deben interpretarse dentro de un intervalo que no cruce un punto excluido.

09 · Linealidad y reconocimiento

Combinar varios patrones

Calculemos una integral que contiene distintas familias:

1. 01
   Separar por linealidad.

   4∫cos(x)dx − 3∫sen(x)dx + 2∫sec²(x)dx.

2. 02
   Aplicar cada patrón.

   4sen(x) − 3[−cos(x)] + 2tan(x).

3. 03
   Simplificar signos.

   Obtenemos 4sen(x) + 3cos(x) + 2tan(x).

4. 04
   Agregar C.

   La familia es 4sen(x) + 3cos(x) + 2tan(x) + C.

5. 05
   Indicar el intervalo.

   Debe excluir los ceros de cos(x) debido a la tangente y la secante.

6. 06
   Comprobar.

   La derivada recupera exactamente el integrando.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: fórmula, frecuencia y dominio

Elegí una familia, modificá k y desplazá la primitiva con C. El laboratorio genera la fórmula ajustada y muestra las discontinuidades cuando la función seleccionada no está definida en todo ℝ.

La curva violeta representa el integrando y la amarilla una primitiva. Los segmentos se interrumpen cerca de las asíntotas de secante, tangente, cosecante y cotangente.

Preguntas para explorar

1. Alterná entre seno y coseno. ¿En cuál aparece el signo negativo?
2. Aumentá k. ¿Cómo cambia la frecuencia y por qué la amplitud de la primitiva se divide por k?
3. Compará las familias de secante y cosecante. ¿Dónde aparecen sus discontinuidades?
4. Mové C. ¿Cambia la derivada o solamente la posición vertical de la primitiva?

11 · Implementación

Representar primitivas trigonométricas en JavaScript

JavaScript proporciona seno, coseno y tangente. Las demás funciones pueden construirse mediante cocientes:

const trig = {
  sen: Math.sin,
  cos: Math.cos,
  tan: Math.tan,
  sec: x => 1 / Math.cos(x),
  csc: x => 1 / Math.sin(x),
  cot: x => 1 / Math.tan(x)
};

function crearPrimitiva(tipo, k = 1, C = 0) {
  if (k === 0) throw new RangeError("k debe ser distinto de cero");

  const modelos = {
    cos: x => trig.sen(k * x) / k + C,
    sen: x => -trig.cos(k * x) / k + C,
    sec2: x => trig.tan(k * x) / k + C,
    csc2: x => -trig.cot(k * x) / k + C,
    secTan: x => trig.sec(k * x) / k + C,
    cscCot: x => -trig.csc(k * x) / k + C
  };

  if (!modelos[tipo]) throw new RangeError("Patrón desconocido");
  return modelos[tipo];
}

const F = crearPrimitiva("sen", 3, 2);
console.log("F(π/6) =", F(Math.PI / 6));

El argumento se expresa en radianes. La división por k compensa el factor que generará la regla de la cadena.

Comprobar con diferencias centrales

function derivadaNumerica(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

const k = 2;
const integrando = x => Math.cos(k * x);
const primitiva = x => Math.sin(k * x) / k + 5;

for (const x of [0, Math.PI / 6, Math.PI / 4, Math.PI / 2]) {
  const esperada = integrando(x);
  const obtenida = derivadaNumerica(primitiva, x);
  console.log({
    x: Number(x.toFixed(4)),
    esperada: Number(esperada.toFixed(6)),
    obtenida: Number(obtenida.toFixed(6))
  });
}

En modelos con asíntotas no conviene aproximar derivadas demasiado cerca de un punto excluido: las evaluaciones pueden atravesar una discontinuidad y producir resultados engañosos.

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: seno y coseno

Calculá ∫ [5cos(x) + 2sen(x)] dx.

Ejercicio 2: secante cuadrada

Calculá ∫ 4sec²(x) dx.

Ejercicio 3: argumento lineal

Calculá ∫ sen(5x) dx.

Ejercicio 4: cosecante y cotangente

Calculá ∫ 6csc(2x)cot(2x) dx.

Ejercicio 5: dominio

¿En qué intervalos puede interpretarse ∫sec²(x)dx = tan(x)+C?

Ejercicio 6: programar una familia

Representá ∫cos(4x)dx con JavaScript y verificá la fórmula conocida.

const f = x => Math.cos(4 * x);
const F = (x, C = 0) => Math.sin(4 * x) / 4 + C;
const derivadaDeF = x => Math.cos(4 * x);

for (const x of [0, Math.PI / 8, Math.PI / 4]) {
  console.log({
    x,
    integrando: f(x),
    derivada: derivadaDeF(x),
    primitivaConC2: F(x, 2)
  });
}

13 · Síntesis

Ideas para recordar