Tablas de integrales inmediatas

01 · Una herramienta, no una lista ciega

Qué es una tabla de integrales

Una tabla de integrales inmediatas reúne pares formados por un integrando y una familia de primitivas. Permite reconocer rápidamente estructuras ya conocidas sin volver a deducir cada fórmula desde cero.

Una tabla útil no contiene solamente una columna de resultados. También debe registrar:

02 · Construir desde derivadas

Cada fila tiene una justificación

Las fórmulas no aparecen por autoridad de la tabla: provienen de reglas de derivación. Podemos construir cada fila mediante tres pasos.

1. 01
   Partir de una función conocida.

   Por ejemplo, F(x) = sen(x).

2. 02
   Calcular su derivada.

   F′(x) = cos(x).

3. 03
   Leer la relación al revés.

   ∫cos(x)dx = sen(x) + C.

Este origen permite reconstruir una fórmula olvidada. Si no recordamos el signo de ∫sen(x)dx, derivamos cos(x), observamos que aparece −sen(x) y corregimos con −cos(x).

03 · Núcleo algebraico

Potencias, exponenciales y logaritmos

Las condiciones forman parte de las fórmulas. Por ejemplo, la fila de potencias no contiene a x⁻¹; ese caso ocupa la fila logarítmica.

04 · Núcleo trigonométrico

Patrones inmediatos en radianes

Estas reglas suponen argumentos expresados en radianes. Los signos negativos de las filas del seno, la cotangente y la cosecante se explican por sus derivadas.

05 · Leer la letra pequeña

Fórmula, excepción y dominio son inseparables

Aplicar una fórmula fuera de sus condiciones puede producir divisiones por cero, logaritmos no reales o una respuesta que cruza discontinuidades.

06 · Preparar antes de consultar

Normalizar el integrando

Una expresión puede no coincidir visualmente con la tabla aunque sea equivalente a una de sus filas. Antes de buscar un patrón conviene simplificarla.

Normalizar no significa transformar indiscriminadamente. Cada igualdad algebraica debe ser válida en el dominio considerado.

07 · Adaptar una fila

Coeficientes y argumentos lineales

Las tablas suelen mostrar patrones con argumento x. Si aparece kx+b, la regla de la cadena introduce el factor k, que debe compensarse.

Esta forma es válida cuando el integrando es exactamente f(kx+b). Si además existe un coeficiente externo A, se conserva por linealidad:

Ejemplos:

08 · Algoritmo de consulta

Un flujo para elegir la regla correcta

1. Delimitá el integrando y la variable. Leé todo lo que se encuentra entre ∫ y el diferencial.
2. Simplificá algebraicamente. Reescribí raíces y cocientes como potencias cuando resulte útil.
3. Separá sumas y factores constantes. Usá linealidad antes de consultar la tabla.
4. Clasificá cada término. Potencia, exponencial, recíproco, seno, coseno u otro patrón.
5. Comprobá las condiciones. Revisá exponentes excluidos, parámetros y dominio.
6. Ajustá el argumento interno. Si aparece kx+b, compensá el factor k.
7. Agregá una sola constante. Escribí + C al final de la integral completa.
8. Derivá la respuesta. Debés recuperar exactamente el integrando original, no solo una forma parecida.

Si ningún patrón coincide después de simplificar, la integral quizá no sea inmediata. Forzar una fila de la tabla conduce a respuestas falsas.

09 · Ejemplo integrador

Consultar varias filas en un mismo problema

Calculemos, en un intervalo con x > 0:

1. 01
   Normalizar la raíz.

   3√x = 3x¹⁄².

2. 02
   Aplicar potencia.

   3·x³⁄²/(3/2) = 2x³⁄².

3. 03
   Aplicar exponencial y logaritmo.

   Obtenemos 2eˣ − 4ln(x); como x > 0, |x| = x.

4. 04
   Ajustar el coseno.

   6∫cos(3x)dx = 6sen(3x)/3 = 2sen(3x).

5. 05
   Reunir la familia.

   2x³⁄² + 2eˣ − 4ln(x) + 2sen(3x) + C.

6. 06
   Verificar término a término.

   La derivada devuelve los cuatro términos originales.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: explorador de la tabla

Elegí una fila de la tabla y modificá el coeficiente externo A y el factor interno k. El laboratorio adapta la fórmula, muestra su condición y compara el integrando con la derivada de la primitiva.

La curva violeta representa el integrando y la amarilla una primitiva. Las discontinuidades se omiten en los patrones recíproco y secante cuadrada.

Preguntas para explorar

1. Cambiá A. ¿Cómo se modifica la amplitud del integrando y de la primitiva?
2. Aumentá k. ¿Por qué aparece A/k en el resultado?
3. Elegí el recíproco. ¿Qué punto debe excluirse del dominio?
4. Compará seno y coseno. ¿En cuál aparece el signo negativo?

11 · Implementación

Representar una tabla como datos

En un programa educativo conviene separar los metadatos de cada regla de las funciones que la evalúan:

const tabla = [
  {
    id: "potencia",
    patron: "x^n",
    condicion: "n !== -1",
    crearPrimitiva: n => {
      if (n === -1) throw new RangeError("Usar ln|x|");
      return x => x ** (n + 1) / (n + 1);
    }
  },
  {
    id: "exponencial-natural",
    patron: "e^x",
    condicion: "x real",
    crearPrimitiva: () => x => Math.exp(x)
  },
  {
    id: "coseno",
    patron: "cos(x)",
    condicion: "x en radianes",
    crearPrimitiva: () => x => Math.sin(x)
  }
];

const regla = tabla.find(item => item.id === "potencia");
const F = regla.crearPrimitiva(3);
console.log(regla.patron, regla.condicion, F(2));

La condición se conserva como parte de la entrada, no como comentario olvidado. En una aplicación real podría mostrarse junto al resultado y validarse antes de evaluar.

Comprobar una regla de forma numérica

function derivadaNumerica(F, x, h = 1e-5) {
  return (F(x + h) - F(x - h)) / (2 * h);
}

function comprobarRegla(f, F, puntos, tolerancia = 1e-7) {
  return puntos.map(x => {
    const esperada = f(x);
    const obtenida = derivadaNumerica(F, x);
    return {
      x,
      esperada: Number(esperada.toFixed(6)),
      obtenida: Number(obtenida.toFixed(6)),
      coincide: Math.abs(esperada - obtenida) < tolerancia
    };
  });
}

const f = x => 3 * Math.cos(2 * x);
const F = x => 1.5 * Math.sin(2 * x) + 7;
console.table(comprobarRegla(f, F, [-1, 0, 0.5, 1]));

Las pruebas numéricas deben usar puntos del dominio y evitar las cercanías de singularidades. La verificación simbólica sigue siendo la justificación general.

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: identificar una fila

¿Qué fila permite calcular ∫x⁻⁴ dx y cuál es el resultado?

Ejercicio 2: detectar la excepción

Explicá por qué ∫x⁻¹ dx no usa la misma fila.

Ejercicio 3: normalizar

Reescribí y calculá ∫2/√x dx.

Ejercicio 4: ajustar un argumento

Calculá ∫8e⁴ˣ dx.

Ejercicio 5: combinar filas

Calculá ∫[3x²−2sen(x)+5/x]dx.

Ejercicio 6: decidir si es inmediata

¿Puede calcularse ∫x eˣ dx separando el producto o aplicando directamente una fila?

13 · Síntesis

Ideas para recordar