Condiciones iniciales y constante particular

01 · De infinitas respuestas a una

Una condición selecciona la curva

Conocer una derivada f determina una familia de primitivas:

La función P fija la forma y las pendientes de las curvas; la constante C controla su desplazamiento vertical. Si además conocemos un valor F(a) = b, solo una curva de la familia pasa por el punto (a,b).

02 · Notación del problema

Dos requisitos que deben cumplirse juntos

Un problema elemental de valor inicial puede presentarse como un sistema:

La solución debe superar dos comprobaciones diferentes:

El término «inicial» suele referirse al tiempo t = 0, pero la entrada conocida puede ser cualquier valor a del intervalo de trabajo.

03 · Resolver algebraicamente

La fórmula C = b − P(a)

Supongamos que una primitiva base de f es P. La familia completa es F(x)=P(x)+C. Aplicamos la condición:

Despejando:

La solución particular puede escribirse entonces como:

Esta última forma muestra que el valor P(a) se resta para llevar la primitiva base a cero en a, y luego se suma b para colocarla a la altura correcta.

04 · Método sistemático

Seis pasos para hallar la función particular

1. 01
   Identificar la derivada y la condición.

   Separá F′(x)=f(x) de F(a)=b.

2. 02
   Antiderivar.

   Calculá una primitiva base P(x) usando las reglas adecuadas.

3. 03
   Escribir la familia.

   No omitas F(x)=P(x)+C.

4. 04
   Sustituir la condición.

   Reemplazá x por a y F(a) por b.

5. 05
   Despejar C.

   Resolvé la ecuación numérica P(a)+C=b.

6. 06
   Verificar dos veces.

   Comprobá tanto F′=f como F(a)=b.

Mantener separados los pasos de antiderivación y sustitución evita tratar a C como si fuera una función o introducir el dato inicial dentro del integrando.

05 · Ejemplo guiado

Una condición aplicada a un polinomio

Resolvamos:

Primero antiderivamos término a término:

Aplicamos F(1)=8:

Por lo tanto, C=5 y la solución particular es:

06 · Distintas familias

Ejemplos exponenciales y trigonométricos

El procedimiento no cambia cuando cambia la tabla de primitivas.

Ejemplo exponencial

La familia es F(x)=2eˣ+C. Como e⁰=1, obtenemos 7=2+C, luego C=5:

Ejemplo trigonométrico

La familia es G(x)=sen(x)+C. Como sen(π/2)=1, resulta 4=1+C y C=3:

07 · Significado en contexto

La constante almacena el estado de referencia

En aplicaciones, el dato inicial aporta la información absoluta que una tasa de cambio no conserva.

Las unidades también ayudan a revisar el resultado: si F representa metros, entonces C y el valor inicial b también se miden en metros.

08 · Validar más de un dato

Condiciones compatibles e incompatibles

Una sola condición basta para determinar C. Si se proporcionan varias, todas deben producir la misma constante.

Para la familia F(x)=x²+C, consideremos los puntos (1,4) y (2,7):

Los datos son compatibles y seleccionan F(x)=x²+3. En cambio, los puntos (1,4) y (2,8) darían C=3 y C=4: ninguna curva de la familia pasa por ambos.

09 · La condición debe ser válida

Dominio e intervalos de la solución

El punto inicial a debe pertenecer al dominio del integrando y de la primitiva elegida. Consideremos:

En el intervalo (−∞,0), la familia es F(x)=ln|x|+C. Como ln|−1|=ln(1)=0, resulta C=2:

La condición selecciona una solución en el intervalo negativo. No autoriza a atravesar x=0, donde la ecuación diferencial no está definida.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: hacer pasar la curva por un punto

Elegí una familia, la entrada a y el valor deseado b. El laboratorio calcula C=b−P(a) y desplaza la primitiva base para que la solución pase exactamente por (a,b).

La curva gris representa la primitiva base P. La amarilla es la solución particular P+C y el punto señalado representa la condición inicial.

Preguntas para explorar

1. Mantené a fijo y aumentá b. ¿Cómo cambia C?
2. Cambiá a sin cambiar b. ¿Por qué debe recalcularse la constante?
3. Elegí la familia exponencial. ¿Qué valor de C hace que la curva pase por (0,0)?
4. Elegí 1/x. ¿Por qué el control evita usar a=0?

11 · Implementación

Construir una solución particular en JavaScript

La fórmula C=b−P(a) se traduce directamente a una función de orden superior:

function crearSolucionParticular(primitivaBase, condicion) {
  const { a, b } = condicion;
  const valorBase = primitivaBase(a);
  if (!Number.isFinite(valorBase)) {
    throw new RangeError("La condición está fuera del dominio");
  }

  const C = b - valorBase;
  return {
    C,
    evaluar: x => primitivaBase(x) + C,
    condicion
  };
}

const P = x => x ** 2;
const solucion = crearSolucionParticular(P, { a: 1, b: 4 });

console.log("C =", solucion.C);
console.log("F(1) =", solucion.evaluar(1));
console.log("F(3) =", solucion.evaluar(3));

La función devuelve la constante y una clausura que conserva su valor. Antes de crearla, valida que la primitiva base pueda evaluarse en a.

Comprobar varias condiciones

function comprobarCondiciones(primitivaBase, puntos, tolerancia = 1e-9) {
  const constantes = puntos.map(({ x, y }) => y - primitivaBase(x));
  const referencia = constantes[0];
  const compatibles = constantes.every(
    C => Math.abs(C - referencia) <= tolerancia
  );

  return { compatibles, constantes };
}

const P = x => x ** 2;
console.log(comprobarCondiciones(P, [
  { x: 1, y: 4 },
  { x: 2, y: 7 },
  { x: 3, y: 12 }
]));

console.log(comprobarCondiciones(P, [
  { x: 1, y: 4 },
  { x: 2, y: 8 }
]));

La tolerancia evita rechazar datos equivalentes por pequeñas diferencias de punto flotante. Si los datos provienen de mediciones con ruido, ya no se busca igualdad exacta: se necesita un método de ajuste, como mínimos cuadrados.

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: potencia

Resolvé F′(x)=4x³ con F(2)=11.

Ejercicio 2: exponencial

Resolvé F′(x)=3eˣ con F(0)=1.

Ejercicio 3: trigonométrica

Resolvé G′(x)=sen(x) con G(0)=5.

Ejercicio 4: condición logarítmica

Resolvé H′(x)=2/x con H(1)=−3.

Ejercicio 5: compatibilidad

¿Existe una función con F′(x)=2x, F(1)=4 y F(3)=12?

Ejercicio 6: detectar incompatibilidad

¿Existe una función con F′(x)=1, F(0)=2 y F(3)=8?

13 · Síntesis

Ideas para recordar