La idea de acumulación continua

01 · Del cambio al total

¿Cómo se acumula una cantidad que varía?

Si una tasa permanece constante, calcular el total es sencillo: multiplicamos la tasa por la duración o extensión. Por ejemplo, descargar a 3 MB/s durante 4 s agrega 12 MB.

Pero muchas tasas cambian continuamente: la velocidad de un vehículo, el caudal de una tubería, el consumo eléctrico o la cantidad de solicitudes por segundo. Ya no existe una única tasa que podamos multiplicar por todo el intervalo.

La idea del cálculo integral consiste en dividir mentalmente el proceso en lapsos muy pequeños, estimar el aporte de cada uno y sumar todos esos aportes.

02 · Una pequeña contribución

Tasa por ancho del intervalo

Supongamos que r(t) mide una tasa instantánea. Durante un lapso corto de ancho Δt, la tasa cambia poco y podemos tratarla aproximadamente como constante:

El punto t* es algún instante representativo del pequeño intervalo. La multiplicación es esencial: r(t*) describe una cantidad por unidad de tiempo, mientras que Δt indica cuántas unidades de tiempo transcurren.

03 · Análisis dimensional

Las unidades explican la multiplicación

Las unidades permiten detectar qué operación reconstruye una cantidad acumulada.

Si el resultado conserva las unidades de la tasa en lugar de las del total, probablemente falta multiplicar por el tamaño del intervalo.

04 · De lo local a lo global

Sumar todos los pequeños aportes

Dividamos el intervalo completo en varios tramos cortos. En cada tramo calculamos un aporte aproximado y luego los reunimos:

Geométricamente, cada producto se representa como un rectángulo: la tasa aporta la altura y el pequeño intervalo aporta el ancho. La suma de las áreas con signo de esos rectángulos aproxima la acumulación.

En los próximos temas formalizaremos los puntos de división, la notación de la suma y la elección de muestras. Aquí importa comprender la arquitectura del proceso.

05 · Exactitud y aproximación

Tasa constante frente a tasa variable

Por ejemplo, si r(t)=2t entre 0 y 3, usar únicamente la tasa final daría 6·3=18, mientras que usar únicamente la inicial daría 0. Ninguna representa adecuadamente todo el proceso.

La solución no consiste en buscar una muestra perfecta para el intervalo completo, sino en usar muchos intervalos pequeños donde la variación interna sea menor.

06 · Los signos también se acumulan

Acumulación neta y cantidad total

Cuando la tasa es positiva, el estado acumulado aumenta. Cuando es negativa, disminuye. Por eso la integral definida representa inicialmente una acumulación neta, no siempre una cantidad total sin signo.

En un gráfico, las contribuciones por encima del eje cuentan positivamente y las que están debajo cuentan negativamente. Si se necesita una magnitud total recorrida, todos los aportes deben hacerse positivos mediante el valor absoluto.

07 · Hacia el límite

Franjas más angostas, mejor representación

Al aumentar la cantidad de tramos, cada ancho disminuye. La tasa varía menos dentro de cada uno y los rectángulos siguen más de cerca la curva.

No afirmamos que una cantidad finita específica de rectángulos sea exacta para toda función. La integral aparece al estudiar qué valor estable alcanzan estas sumas cuando el ancho máximo de los tramos tiende a cero.

08 · El símbolo de acumulación

Anticipar la integral definida

La acumulación neta de una función f desde a hasta b se escribirá:

A diferencia de la integral indefinida, el resultado de una integral definida es un número cuando a y b están fijados y la función cumple las condiciones necesarias.

09 · El extremo puede moverse

Una acumulación que depende de x

Si mantenemos fijo el comienzo a y dejamos que el extremo final varíe, obtenemos una nueva función:

La letra t es una variable interna; x indica hasta dónde acumulamos. Esta función cumple A(a)=0, porque no hay intervalo que recorrer entre a y sí mismo.

Si avanzamos un pequeño tramo Δx, el nuevo aporte es aproximadamente f(x)Δx. Por eso la razón de cambio de la acumulación termina siendo la función original. Esta conexión se formalizará con el teorema fundamental del cálculo.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: sumar pequeños aportes

Elegí una tasa, el extremo final y la cantidad de franjas. Cada rectángulo usa la tasa en el punto medio del tramo. Observá cómo cambia la aproximación al hacer las franjas más angostas.

La curva violeta representa la tasa. Los rectángulos amarillos son aportes positivos y los rojizos representan aportes negativos.

Preguntas para explorar

1. Elegí la tasa constante y cambiá la cantidad de franjas. ¿Por qué el resultado no cambia?
2. Con la tasa cuadrática, compará n=2 y n=40. ¿Qué ocurre con el error?
3. Elegí f(t)=t−2. ¿Cómo se combinan los aportes negativos y positivos?
4. Aumentá b. ¿Siempre aumenta la acumulación neta? Probalo con la tasa seno.

11 · Implementación

Aproximar acumulaciones con JavaScript

Podemos implementar la suma de aportes usando el punto medio de cada franja:

function acumularPuntoMedio(tasa, inicio, fin, cantidad) {
  if (!Number.isInteger(cantidad) || cantidad <= 0) {
    throw new RangeError("La cantidad debe ser un entero positivo");
  }

  const ancho = (fin - inicio) / cantidad;
  let total = 0;

  for (let i = 0; i < cantidad; i += 1) {
    const izquierda = inicio + i * ancho;
    const muestra = izquierda + ancho / 2;
    total += tasa(muestra) * ancho;
  }

  return total;
}

const tasa = t => t ** 2;
for (const n of [2, 10, 100, 1000]) {
  console.log(n, acumularPuntoMedio(tasa, 0, 3, n));
}

Para t² entre 0 y 3, los resultados se acercan a 9. El algoritmo todavía calcula sumas finitas; el objeto matemático exacto se define mediante un límite.

Acumulación progresiva de muestras

function acumulados(tasa, inicio, fin, cantidad) {
  const ancho = (fin - inicio) / cantidad;
  let total = 0;
  const historial = [];

  for (let i = 0; i < cantidad; i += 1) {
    const muestra = inicio + (i + 0.5) * ancho;
    const aporte = tasa(muestra) * ancho;
    total += aporte;
    historial.push({
      tramo: i + 1,
      muestra,
      aporte,
      acumulado: total
    });
  }

  return historial;
}

console.table(acumulados(t => t - 2, 0, 4, 8));

El historial diferencia cada aporte del total acumulado hasta ese momento. Esta estructura es similar a procesar un flujo de eventos con un acumulador, salvo que cada evento representa un pequeño intervalo continuo.

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: tasa constante

Un servidor procesa 120 solicitudes/s durante 15 segundos. ¿Cuántas solicitudes procesa si la tasa permanece constante?

Ejercicio 2: aporte local

Una tasa vale aproximadamente 8 L/min durante un lapso de 0,25 min. Estimá el aporte.

Ejercicio 3: sumar contribuciones

Tres lapsos de un segundo tienen tasas aproximadas de 2, 5 y 4 bytes/s. Estimá el total transferido.

Ejercicio 4: interpretar signos

Un búfer recibe 10 MB y luego pierde 4 MB. ¿Cuál es el cambio neto y cuál es la actividad total?

Ejercicio 5: función de acumulación

Si A(x)=∫₂ˣf(t)dt, ¿cuánto vale A(2)?

Ejercicio 6: detectar un algoritmo incorrecto

Un programa suma f(tᵢ) para aproximar un total, pero no multiplica por el ancho. Explicá el problema.

13 · Síntesis

Ideas para recordar