Particiones de un intervalo

01 · Dividir de manera ordenada

¿Qué es una partición?

Una partición de un intervalo cerrado [a,b] es una colección finita y ordenada de puntos que incluye ambos extremos:

Los puntos interiores x₁,…,xₙ₋₁ cortan el intervalo original en tramos consecutivos. El orden estricto garantiza que cada nuevo punto se encuentre a la derecha del anterior.

02 · Los tramos resultantes

De n + 1 puntos a n subintervalos

Cada par de puntos consecutivos determina un subintervalo:

Usando un índice general, el subintervalo número i es:

Con n+1 puntos se obtienen n tramos porque cada tramo necesita dos extremos y los tramos vecinos comparten el punto que los separa.

03 · Medir cada tramo

El ancho Δxᵢ

El ancho del subintervalo Iᵢ=[xᵢ₋₁,xᵢ] es la diferencia entre su extremo derecho y su extremo izquierdo:

Como los puntos están estrictamente ordenados, todos los anchos son positivos. Además, la suma de los anchos recupera la longitud total:

La igualdad se debe a una cancelación telescópica:

Esta propiedad funciona tanto para tramos iguales como para tramos de tamaños diferentes.

04 · Divisiones de igual tamaño

Particiones uniformes

Una partición es uniforme o regular cuando todos sus subintervalos tienen el mismo ancho. Si dividimos [a,b] en n partes:

Los puntos pueden generarse mediante una fórmula:

Por ejemplo, para dividir [2,8] en tres partes:

Los subintervalos son [2,4], [4,6] y [6,8].

05 · Anchos diferentes

Particiones no uniformes

No es obligatorio que todos los tramos tengan el mismo tamaño. Por ejemplo:

Esta partición de [0,4] produce:

La suma de los anchos es 0.5+1+2.5=4, que coincide con la longitud de [0,4].

Las particiones no uniformes son útiles cuando una función cambia rápidamente en algunas zonas y lentamente en otras: podemos colocar más divisiones donde necesitamos mayor detalle.

06 · Elegir una altura

Puntos de muestra dentro de cada tramo

Para estimar una acumulación necesitamos evaluar la función en un punto representativo de cada subintervalo. Denotamos ese punto mediante xᵢ* y exigimos:

Algunas elecciones habituales son:

También puede elegirse cualquier otro punto interior. En el tema 14 compararemos sistemáticamente las elecciones izquierda, derecha y punto medio.

07 · Medir el refinamiento

La norma o malla de una partición

Para saber cuán fina es una partición no basta contar los subintervalos, especialmente si sus anchos son diferentes. Se utiliza el mayor ancho:

En la partición {0,0.5,1.5,4}, los anchos son 0.5, 1 y 2.5, por lo que ‖P‖=2.5.

Decir que las particiones se refinan hasta el límite significa exigir que el tramo más ancho también se vuelva pequeño:

08 · Propiedades estructurales

Sin huecos y sin solapamientos interiores

Los subintervalos de una partición deben cubrir todo [a,b]. Dos tramos consecutivos comparten solamente su extremo común; sus interiores no se superponen.

Estas propiedades evitan contar dos veces una región o dejar una zona sin representar.

09 · Ejemplo completo

Construir una partición uniforme de [−2,4]

Queremos dividir el intervalo en cuatro subintervalos y elegir puntos medios.

1. 01
   Calcular la longitud total.

   b−a=4−(−2)=6.

2. 02
   Calcular el ancho común.

   Δx=6/4=1.5.

3. 03
   Generar los puntos.

   xᵢ=−2+1.5i: −2, −0.5, 1, 2.5, 4.

4. 04
   Formar los subintervalos.

   [−2,−0.5], [−0.5,1], [1,2.5] y [2.5,4].

5. 05
   Elegir puntos medios.

   −1.25, 0.25, 1.75 y 3.25.

6. 06
   Verificar.

   Hay cinco puntos, cuatro tramos de ancho 1.5 y la suma de anchos es 6.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: construir y recorrer una partición

Elegí un intervalo, la cantidad de subintervalos y el tipo de espaciado. Después mové la posición relativa de las muestras dentro de cada tramo.

Las bandas alternadas representan subintervalos, las líneas muestran puntos de partición y los círculos indican las muestras elegidas.

Preguntas para explorar

1. Aumentá n en una partición uniforme. ¿Qué ocurre con Δx y con ‖P‖?
2. Elegí una partición no uniforme. ¿Coinciden todos los anchos?
3. Mové las muestras del 0% al 100%. ¿Cambian los puntos de partición?
4. Comprobá que la suma de anchos siempre coincide con b−a.

11 · Implementación

Generar particiones con JavaScript

Una partición uniforme puede representarse mediante un arreglo de n+1 puntos:

function particionUniforme(a, b, n) {
  if (!(b > a)) throw new RangeError("Debe cumplirse b > a");
  if (!Number.isInteger(n) || n <= 0) {
    throw new RangeError("n debe ser un entero positivo");
  }

  const ancho = (b - a) / n;
  return Array.from({ length: n + 1 }, (_, i) =>
    i === n ? b : a + i * ancho
  );
}

const puntos = particionUniforme(-2, 4, 4);
console.log(puntos);
// [-2, -0.5, 1, 2.5, 4]

Asignar explícitamente b al último elemento reduce el riesgo de que una acumulación de errores de punto flotante produzca un extremo apenas distinto.

Describir y validar cualquier partición

function describirParticion(puntos, posicionMuestra = 0.5) {
  if (puntos.length < 2) throw new RangeError("Faltan puntos");
  if (posicionMuestra < 0 || posicionMuestra > 1) {
    throw new RangeError("La posición debe estar entre 0 y 1");
  }

  const tramos = [];
  for (let i = 1; i < puntos.length; i += 1) {
    const izquierda = puntos[i - 1];
    const derecha = puntos[i];
    if (!(derecha > izquierda)) {
      throw new RangeError("Los puntos deben ser estrictamente crecientes");
    }
    const ancho = derecha - izquierda;
    tramos.push({
      izquierda,
      derecha,
      ancho,
      muestra: izquierda + posicionMuestra * ancho
    });
  }

  return {
    tramos,
    longitud: tramos.reduce((suma, tramo) => suma + tramo.ancho, 0),
    norma: Math.max(...tramos.map(tramo => tramo.ancho))
  };
}

console.log(describirParticion([0, 0.5, 1.5, 4]));

La validación impide anchos nulos o negativos. El parámetro posicionMuestra interpola entre el extremo izquierdo 0 y el derecho 1.

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: identificar subintervalos

Para P={1,2,4,7}, escribí los subintervalos y sus anchos.

Ejercicio 2: partición uniforme

Dividí [0,10] en cinco partes iguales.

Ejercicio 3: contar puntos

¿Cuántos puntos de partición se necesitan para formar 12 subintervalos?

Ejercicio 4: calcular la norma

Calculá ‖P‖ para P={−1,0,0.25,2}.

Ejercicio 5: puntos medios

Encontrá los puntos medios de los subintervalos determinados por P={0,1,3,6}.

Ejercicio 6: validar una colección

¿Es {0,2,2,5} una partición válida de [0,5]?

13 · Síntesis

Ideas para recordar