Sumas izquierda, derecha y de punto medio

01 · Una decisión dentro de cada tramo

La altura depende del punto de muestra

Una partición divide [a,b] en subintervalos. Para construir el rectángulo del tramo [xᵢ₋₁,xᵢ] necesitamos elegir una muestra xᵢ* y usar la altura f(xᵢ*).

En una misma partición, elegir el extremo izquierdo, el derecho o el punto medio genera rectángulos diferentes y, por lo tanto, sumas aproximadas distintas.

02 · Preparar las fórmulas

Partición uniforme de [a,b]

Dividamos [a,b] en n subintervalos iguales. El ancho común y los puntos son:

El tramo i es [xᵢ₋₁,xᵢ]. Sus tres muestras habituales pueden expresarse con el índice:

Estas expresiones permiten generar automáticamente las muestras para i=1,…,n.

03 · Extremos iniciales

La suma izquierda Lₙ

En cada subintervalo se evalúa la función en el extremo izquierdo:

Al desarrollar los primeros y últimos términos:

El extremo final xₙ=b no se usa como muestra; cada rectángulo mira el valor con el que comienza su tramo.

Si f es creciente y positiva, la altura izquierda es la menor dentro de cada subintervalo, por lo que Lₙ subestima el área. Si f es decreciente, ocurre lo contrario.

04 · Extremos finales

La suma derecha Rₙ

Ahora la altura proviene del extremo derecho de cada tramo:

Al expandir:

El extremo inicial x₀=a queda fuera de las muestras, mientras que el extremo final xₙ=b sí se incluye.

Para una función creciente y positiva, la altura derecha es la mayor del tramo, de modo que Rₙ sobreestima. Para una función decreciente, suele subestimar.

05 · Muestras centrales

La suma de punto medio Mₙ

El punto medio del tramo [xᵢ₋₁,xᵢ] es:

La suma correspondiente es:

La muestra central suele representar mejor el comportamiento promedio dentro del subintervalo. Para funciones suaves, el error del punto medio generalmente disminuye más rápido que el de los extremos al aumentar n.

06 · Leer el sesgo

Funciones crecientes y decrecientes

Esta tabla compara áreas positivas. Si la función cruza el eje o toma valores negativos, conviene razonar con aportes con signo en lugar de aplicar mecánicamente las palabras «sobre» y «sub».

07 · Mejorar la aproximación

Qué ocurre al aumentar n

Con una partición uniforme, aumentar n reduce Δx=(b−a)/n. Cada rectángulo representa una zona más pequeña y sigue mejor la variación de la función.

Para funciones integrables, las sumas izquierda, derecha y de punto medio convergen al mismo valor cuando la partición se refina indefinidamente. Sus diferencias finitas se deben a la elección de muestra, no a que aproximen objetos distintos.

08 · Rectángulos bajo el eje

Las sumas conservan el signo de f

Si una muestra satisface f(xᵢ*)<0, el término f(xᵢ*)Δx es negativo. El rectángulo se dibuja debajo del eje y resta de la acumulación neta.

Por ejemplo, en f(x)=x−1 sobre [0,2], los aportes del primer tramo pueden ser negativos y los del segundo positivos. Elegir distintas muestras puede cambiar cuánto se atribuye a cada signo con una partición gruesa.

Para aproximar área geométrica total se utilizaría |f(xᵢ*)|Δx; ese es un problema distinto.

09 · Ejemplo comparativo

Aproximar x² en [0,2] con cuatro tramos

La partición uniforme tiene Δx=(2−0)/4=0.5 y puntos 0,0.5,1,1.5,2.

El valor exacto es ∫₀²x²dx=8/3≈2.6667. Como x² es creciente en este intervalo, L₄ subestima y R₄ sobreestima. El punto medio queda mucho más cerca en este caso.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: comparar métodos con la misma partición

Elegí una función, un método y la cantidad de rectángulos. La curva y el intervalo permanecen fijos para que la diferencia provenga únicamente de las muestras.

La curva violeta representa la función. Los rectángulos amarillos muestran aportes positivos y los rojizos, aportes negativos.

Preguntas para explorar

1. Con x², alterná izquierda y derecha. ¿Cuál queda por debajo y cuál por encima?
2. Elegí 5−x. ¿Cómo se invierte el comportamiento de los extremos?
3. Aumentá n. ¿Convergen los tres métodos al mismo valor?
4. Usá x−1. ¿Cómo se representan los rectángulos negativos?

11 · Implementación

Un algoritmo para los tres métodos

Podemos parametrizar la posición relativa de la muestra: 0 para izquierda, 1 para derecha y 0.5 para punto medio.

function sumaRectangulos(f, a, b, n, metodo = "midpoint") {
  if (!Number.isInteger(n) || n <= 0) {
    throw new RangeError("n debe ser un entero positivo");
  }

  const posiciones = {
    left: 0,
    right: 1,
    midpoint: 0.5
  };
  if (!(metodo in posiciones)) {
    throw new RangeError("Método desconocido");
  }

  const ancho = (b - a) / n;
  const posicion = posiciones[metodo];
  let total = 0;

  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const izquierda = a + i * ancho;
    const muestra = izquierda + posicion * ancho;
    total += f(muestra) * ancho;
  }
  return total;
}

const f = x => x ** 2;
console.log("L4", sumaRectangulos(f, 0, 2, 4, "left"));
console.log("R4", sumaRectangulos(f, 0, 2, 4, "right"));
console.log("M4", sumaRectangulos(f, 0, 2, 4, "midpoint"));

El ciclo recorre subintervalos con índices 0,…,n−1. La posición relativa determina la muestra sin duplicar el resto del algoritmo.

Comparar errores al refinar

function sumaRectangulos(f, a, b, n, metodo = "midpoint") {
  const posiciones = { left: 0, right: 1, midpoint: 0.5 };
  const ancho = (b - a) / n;
  let total = 0;
  for (let i = 0; i < n; i += 1) {
    const muestra = a + (i + posiciones[metodo]) * ancho;
    total += f(muestra) * ancho;
  }
  return total;
}

const exacta = 8 / 3;
const metodos = ["left", "right", "midpoint"];

for (const n of [4, 10, 100]) {
  for (const metodo of metodos) {
    const aproximacion = sumaRectangulos(x => x ** 2, 0, 2, n, metodo);
    console.log({
      n,
      metodo,
      aproximacion,
      error: Math.abs(aproximacion - exacta)
    });
  }
}

Comparar con un valor exacto conocido permite estudiar empíricamente la rapidez con que disminuye el error.

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: muestras izquierdas

Para [1,3] con n=4, encontrá Δx y las muestras izquierdas.

Ejercicio 2: muestras derechas

En la misma partición, indicá las muestras derechas.

Ejercicio 3: puntos medios

En la misma partición, indicá las muestras de punto medio.

Ejercicio 4: función creciente

Sin calcular, compará Lₙ y Rₙ para una función positiva creciente.

Ejercicio 5: calcular una suma

Calculá L₂ para f(x)=x+1 en [0,4].

Ejercicio 6: interpretar un resultado negativo

¿Qué significa que una suma de rectángulos resulte negativa?

13 · Síntesis

Ideas para recordar