Sumas de Riemann generales

01 · Del caso uniforme al general

Un ancho diferente en cada tramo

Las sumas izquierda, derecha y de punto medio del tema anterior usaban una partición uniforme: todos los rectángulos tenían el mismo ancho Δx. Esa condición resulta cómoda, pero no es necesaria.

Podemos cortar [a,b] en subintervalos de longitudes diferentes. Para el tramo i elegimos una muestra ξᵢ, evaluamos allí la función y multiplicamos por el ancho propio del tramo:

La suma de todos los aportes es una suma de Riemann general.

02 · Organizar el intervalo

Qué es una partición

Una partición P de [a,b] es una lista ordenada de puntos que contiene ambos extremos:

Los puntos consecutivos determinan n subintervalos:

Una partición con n+1 puntos produce n subintervalos. Esta diferencia de uno es importante al diseñar el algoritmo.

03 · Medir cada tramo

Los anchos Δxᵢ

El ancho del subintervalo Iᵢ=[xᵢ₋₁,xᵢ] se obtiene restando sus extremos:

Como los nodos están ordenados estrictamente, todos los anchos son positivos. Además, la suma de los anchos recupera la longitud total del intervalo:

La igualdad aparece por cancelación telescópica: cada nodo interior se suma una vez y se resta otra.

04 · Elegir dónde evaluar

Un punto de muestra por subintervalo

Para cada tramo se elige un punto ξᵢ que pertenezca a ese mismo subintervalo:

La elección puede ser izquierda, derecha, punto medio o cualquier otro punto. Incluso puede utilizarse un criterio diferente en cada tramo.

El parámetro λᵢ describe qué fracción del tramo se avanza desde la izquierda. Permite representar todas las elecciones anteriores con una sola expresión.

05 · Reunir los aportes

La fórmula de la suma de Riemann

Dada una partición P={x₀,…,xₙ} y muestras ξᵢ∈[xᵢ₋₁,xᵢ], la suma es:

Cada término combina tres datos coordinados: el tramo, su ancho y una evaluación de la función dentro de él.

Si todos los anchos son iguales, Δxᵢ=Δx, recuperamos las fórmulas del tema anterior. Por eso las sumas izquierda, derecha y de punto medio son casos particulares.

06 · Qué representa la suma

Acumulación ponderada por longitud

La suma de Riemann no es un simple promedio de los valores de f. Cada valor recibe como peso la longitud del subintervalo que representa.

Geométricamente, f(ξᵢ)Δxᵢ es el área con signo de un rectángulo. Si f(ξᵢ)<0, el aporte es negativo; si es positiva, el aporte es positivo.

07 · Distribuir mejor el esfuerzo

Por qué usar subintervalos no uniformes

Una partición uniforme asigna la misma resolución a todo el dominio. Una partición no uniforme permite colocar más nodos donde la función cambia rápidamente y menos donde varía poco.

• Cerca de una curva muy pronunciada convienen tramos más angostos.
• En regiones casi constantes pueden tolerarse tramos más anchos.
• Los puntos conocidos, discontinuidades o cambios de fórmula pueden incluirse como nodos.
• Datos experimentales tomados en instantes irregulares ya proporcionan una partición no uniforme.

Esta idea anticipa los métodos adaptativos de integración numérica: invertir más evaluaciones donde pueden reducir mejor el error.

08 · Medir la resolución global

La norma o malla de una partición

En una partición uniforme, Δx indica el tamaño de todos los tramos. En una partición general necesitamos controlar el más ancho:

Este número se llama norma, malla o diámetro de la partición. Que haya muchos subintervalos pequeños no garantiza una resolución fina si todavía queda uno muy grande.

Por ejemplo, los anchos 0.01, 0.01, 0.01, 0.97 suman 1, pero ‖P‖=0.97: casi todo el intervalo sigue representado por un solo rectángulo.

09 · Ejemplo completo

Una suma no uniforme para x² en [0,3]

Tomemos la partición P={0,0.5,1.5,2,3}. Sus anchos son 0.5,1,0.5,1. Elegimos como muestras los puntos medios 0.25,1,1.75,2.5.

El valor exacto de ∫₀³x²dx es 9, por lo que el error absoluto de esta suma es |8.8125−9|=0.1875. La norma de la partición es ‖P‖=1.

10 · Exploración interactiva

Laboratorio: deformar una partición

Modificá la concentración de nodos y la posición relativa de las muestras. La visualización muestra que cada rectángulo conserva su propio ancho.

La curva violeta representa la función. Los rectángulos amarillos tienen aporte positivo y los rojizos, aporte negativo. Los puntos indican las muestras.

Preguntas para explorar

1. Mové la distribución hacia un extremo. ¿Qué anchos crecen y cuáles disminuyen?
2. Mantené la partición y desplazá λ entre 0 y 1. ¿Qué cambia en la suma?
3. Aumentá n. ¿Cómo evolucionan la norma y el error?
4. Elegí x−1. ¿Qué términos aportan con signo negativo?

11 · Implementación

Calcular una suma desde nodos y muestras

Una representación directa recibe un arreglo de nodos y una función que decide la muestra dentro de cada tramo.

function sumaRiemann(f, nodos, elegirMuestra) {
  if (!Array.isArray(nodos) || nodos.length < 2) {
    throw new TypeError("Se necesitan al menos dos nodos");
  }

  let total = 0;
  for (let i = 1; i < nodos.length; i += 1) {
    const izquierda = nodos[i - 1];
    const derecha = nodos[i];
    const ancho = derecha - izquierda;
    if (ancho <= 0) {
      throw new RangeError("Los nodos deben estar ordenados");
    }

    const muestra = elegirMuestra(izquierda, derecha, i);
    if (muestra < izquierda || muestra > derecha) {
      throw new RangeError("La muestra debe pertenecer al tramo");
    }
    total += f(muestra) * ancho;
  }
  return total;
}

const nodos = [0, 0.5, 1.5, 2, 3];
const puntoMedio = (izquierda, derecha) => (izquierda + derecha) / 2;
const suma = sumaRiemann(x => x ** 2, nodos, puntoMedio);
console.log(suma); // 8.8125

Obtener la norma de la partición

function normaParticion(nodos) {
  let maximo = 0;
  for (let i = 1; i < nodos.length; i += 1) {
    const ancho = nodos[i] - nodos[i - 1];
    if (ancho <= 0) {
      throw new RangeError("Partición inválida");
    }
    maximo = Math.max(maximo, ancho);
  }
  return maximo;
}

console.log(normaParticion([0, 0.5, 1.5, 2, 3])); // 1

Separar el cálculo de la partición, la elección de muestras y la evaluación facilita ensayar distintas estrategias sin reescribir el algoritmo completo.

12 · Comprensión y práctica

Errores frecuentes

Ejercicios de comprensión

Ejercicio 1: reconocer los tramos

Para P={−1,0,2,2.5,4}, indicá la cantidad de subintervalos y sus anchos.

Ejercicio 2: calcular la norma

Calculá ‖P‖ para la partición anterior.

Ejercicio 3: validar muestras

¿Son válidas las muestras −0.5,1,2.25,4.2 para esos cuatro tramos?

Ejercicio 4: suma constante

Si f(x)=3 en [−1,4], ¿qué suma produce cualquier partición y cualquier conjunto válido de muestras?

Ejercicio 5: cálculo directo

Para f(x)=x, P={0,1,3} y muestras 0.5,2, calculá la suma.

Ejercicio 6: diseño de una partición

Proponé una partición de [0,4] que use tramos más angostos cerca de 0 y más anchos cerca de 4.

13 · Síntesis

Ideas para recordar